Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
*) Не путать с левым действием в алгебраической терминологии.
**) Достаточно мало отличающееся от / при учете достаточно большого числа производных. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
11
Пример. Отображение проектирования сферы на плоскость устойчиво. Отображение окружности (ж mod в прямую {у), заданное формулой у =sin 2х, неустойчиво.
Замечание. Если заменить дифференцируемую эквивалентность в предыдущем определении топологической, то получится определение топологической устойчивости.
Пример. Отображение проектирования сферы на плоскость топологически устойчиво, как и всякое дифференцируемо устойчивое отображение. Топологически устойчивые, но дифференцируемо неустойчивые отображения существуют, но указать пример не так легко (см. [67]). Формула у*= =sin 2х задает топологически неустойчивое отображение окружности в прямую.
Существуют также локальные варианты введенных понятий. Например, особенность функции у -X2 в нуле устойчива, а особенность функции у =X3 в нуле неустойчива. Чтобы дать формальное определение устойчивости отображения в точке, мы воспользуемся Рис. 5. следующей терминологией.
Определение. Ростком отображения M N в точке х из M называется класс эквивалентности отображений <р: U N (каждое из которых определено в некоторой (своей) окрестности U точки X в М)\ здесь два отображения считаются эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности точки х (эта окрестность имеет право быть меньшей, чем пересечение окрестностей, в которых определены оба отображения). Про два отображения из одного класса говорят также, что они имеют общий росток в точке X (рис. 5).
Иными словами, росток отображения / в точке х — это то, что от отображения остается, когда мы «бесконечно уменьшаем область определения».
Определение. Два ростка гладких отображений называются (лево-право, дифференцируемо) эквивалентными, если существуют ростки диффеоморфизмов прообраза и образа, переводящие первый росток во второй (если росток отображения Z1 в X1 эквивалентен ростку /2 в х2, то существуют росток в X1 диффеоморфизма h, переводящего X1 в х2, и росток в /х (X1) диффеоморфизма к, переводящего /х (?) в /2 (х2), такие, что к (J1 (h'1 (х)))= =/2 (х) в достаточно малой окрестности точки Z2). Класс эквивалентности ростка в критической точке называется особенностью.
Определение. Росток гладкого отображения f: M -*• JV в точке X из M (рис. 6) называется (лево-право, дифференцируемо) устойчивым, если для сколь угодно малой. окрестности U точки 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
X существует такая окрестность E отображения *) / в Q (М, N), что для любого отображения / из E в U найдется точка х такая, что росток / в X эквивалентен ростку / в х.
Нетрудно проверить, что устойчивость в точке — свойство ростка, а не отображения: это свойство не теряется при изменениях /, не затрагивающих хоть какую-нибудь окрестность точки х.
Аналогично определяются топологическая эквивалентность ростков и топологическая устойчивость ростков.
Пример. Ростки отображений у =х2 и у=х* вещественной прямой в нуле топологически эквивалентны. Росток у =X2 в О
топологически (и даже дифференцируемо) устойчив. Росток у =Xi в 0 дифференцируемо (и даже топологически) неустойчив.
1.5. Устойчивые отображения двумерных многообразий на двумерные. Начнем с уже рассматривавшегося примера — отображения проектирования сферы на плоскость (рис. 3). Особенности проектирования — это точки на экваторе сферы. Нетрудно сообразить, что росток отображения в каждой точке экватора устойчив.
Трудно представить себе, чтобы существовали другие устойчивые особенности отображений двумерных многообразий на двумерные. Действительно, то, что мы видим, рассматривая гладкие поверхности трехмерных тел, — это видимые контуры, состоящие из критических значений отображения проектирования поверхности на сетчатку глаза. Обычно нам кажется, что эти видимые контуры состоят из гладких кривых. Однако, поглядев вокруг себя (скажем, на лица окружающих нас людей) более внимательно, мы можем обнаружить, наряду с особенностями типа особенности проектирования на экваторе сферы, особенности еще одного типа. Эти особенности были открыты X. Уитни, который в работе 1955 г.
[196 ] полностью описал особенности отображений общего положения двумерных многообразий на двумерные. Эта работа Уитни является основополагающей для теории особенностей, датой рождения которой считается поэтому 1955 год.
Уитни установил, что всякое гладкое отображение компактного двумерного многообразия в двумерное может быть как угодно близко (с любым числом производных) аппроксимировано устойчивым отображением.
*) Окрестность данного отображения — это множество всех отображений, мало отличающихся от данного с учетом производных до фиксированного порядка. В интересующем нас сейчас локальном случае- можно считать, что MciRm и Nd R" — области евклидовых пространств и E задается неравенствами || (/— /)||*<«. гДе IlSIU = sup | dagjdxa \.
Рис. 6. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
13
Далее, он исследовал строение устойчивых отображений. Росток такого отображения в каждой точке устойчив. Уитни описал все устойчивые ростки отображений двумерных многообразий (их оказалось/ с точностью до дифференцируемой эквивалентности, ровно 3). Наконец, он доказал, что отображение компактного двумерного многообразия на двумерное устойчиво, если его росток в каждой точке устойчив и критические значения расположены «общим образом» (это — обобщение условия несовпадения критических значений в разных критических точках для функций Морса, см. п. 1.1).
