Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Дадим теперь общее Определение. Точка х многообразия M называется критической точкой для гладкого отображения f: M -> N, если ранг производной
/«: TxM^ TfwN
в этой точке меньше максимально возможного, т. е. меньше меньшей из размерностей многообразий M и N:
rank < min (dim М, dim N).
Замечание. Пусть X1, . . ., хт — локальные координаты в окрестности точки X на M и Xjl, . . . , у„ — в окрестности точки Z (х) на N. Отображение f задается в этих координатах п гладкими функциями от т переменных:
Уг = /і(*і. «•). ?«= /-(?. •¦•.¦«»)•
Матрица (OfiIdxj) называется матрицей Якоби отображения. В этих терминах можно сказать, что точка х является критической, если ранг матрицы Якоби в этой точке не максимален.
Пример. Для отображения проектирования сферы на горизонтальную плоскость критическими точками являются точки горизонтального экватора. Вне экватора ранг производной равен 2, в точках же экватора ранг оператора падает до 1.
Образ критической точки называется критическим значением.
Пример. Критические значения отображения проектирования сферы на плоскость образуют окружность видимого контура сферы.
1.3. Дифференцируемая эквивалентность. При классификации гладких отображений имеется несколько разных возможностей. По-видимому, наиболее грубая классификация — топологическая: мы считаем два отображения топологически эквивалентными, если существуют гомеоморфизмы (взаимно однозначные взаимно не- ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
9
прерывные отображения) многообразий прообраза и образа, превращающие одно отображение в другое. Функции у =хг и у =Xi топологически эквивалентны.
Если fp: Mp -> Np, р ==1, 2, — два данных отображения, то их топологическая эквивалентность означает, что существуют гомеоморфизмы A: M1 -> M2 и к: N1 -> N2 такие, что /2 =Jtf1K'1.
Иными словами, топологическая эквивалентность — это коммутативная диаграмма
в которой вертикальные стрелки — гомеоморфизмы.
Для целей анализа топологическая эквивалентность, как правило, слишком грубое понятие. Например, функция с вырожденной, неустойчивой особенностью у —Xі топологически эквивалентна устойчивой. Поэтому в теории особенностей основным является другое понятие: понятие дифференцируемой эквивалентности.
Определение. Дифференцируемой эквивалентностью дифференцируемых отображений /х: M1 N1 и /2: M2 -» JV2 называется коммутативная диаграмма
вертикали которой — диффеоморфизмы (взаимно однозначные отображения, дифференцируемые вместе со своими обратными *)).
Замечание 1. На языке локальных координат отображение^ ^=Zk(Z) i— это набор функций, диффеоморфизм А — это замена независимых переменных х, диффеоморфизм к — замена зависимых переменных у. G этой точки зрения вопрос о дифференцируемой эквивалентности есть вопрос о том, можно ли превратить одно отображение в другое^при помощи гладких замен независимых и зависимых переменных.
Замечание 2. Выписанная выше коммутативная диаграмма означает тождество
В этой формуле А-1 стоит справа от Z1, а к — слева. Поэтому диффеоморфизмы А-1 пространства прообразов (и замены независи-
*) Здесь и далее слово дифференцируемый или гладкий означает, если не оговорено противное, «непрерывно дифференцируемый нужное число раз», например бесконечно дифференцируемый.
1*
M1 —> Nx
A(Z1(A-1H)) = Za^). iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
мых переменных х) называют еще правыми заменами. Точно так же диффеоморфизмы к пространств образов (и замены зависимых переменных у) называют левыми заменами.
Замечание 3. Еще один способ выразить то же самое состоит в следующем. Рассмотрим множество 2 (М, N) всех гладких отображений из M в N. Рассмотрим группу Diff M всех диффеоморфизмов многообразия прообразов M на себя и группу
Diff N всех диффеоморфизмов многообразия образов N на себя. Прямое произведение групп
Diff M X Diff N
состоит из всех пар (h, к) диффеоморфизмов пространств прообраза (h: M М) и образа (к: N -> N).
Группа Diff M X Diff N действует на множестве Q (M, N) следующим образом: если / ? 2 (М, N), h ? DiffM1 к ? Diff= iV, то (A, k)f —
= ко fahr1.
Ifcgj Нетрудно проверить, что это — действительно действие, т. е. что
(/I1Zia, ^2)/=(/?, ^1K(Zi21Aa)/).
Это действие называется лево-правым *) (действие Diff M называется правым, а действие Diff N — левым). I i B1 этих терминах мы можем переформулировать определение дифференцируемой эквивалентности так: два отображения MeN дифференцируемо эквивалентныj если и только если они принадлежат одной орбите лево-правого действия (рис. 4).
Пример. Связные компоненты множества всех функций Морса (определенных в п. 1.1) являются орбитами лево-правого действия.
1.4. Устойчивость. Рассмотрим гладкое отображение f:M -* N замкнутого многообразия M в многообразие N.
Определение. Отображение / называется дифференцируемо устойчивым (или подробнее лево-право-дифференцируемо устойчивымj или короче — просто устойчивым)} если всякое достаточно близкое **) к нему отображение ему дифференцируемо эквивалентно.
Иными словами^ / устойчиво, если его лево-правая орбита открыта.
