Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
В частности, значения параметра, которым соответствуют матрицы ранга г, образуют, вообще говоря (для семейств из всюду плотного пересечения открытых множеств в пространстве семейств), гладкое многообразие коразмерности (т—г) (п—г) в базе семейства.
Доказательство теоремы п. 2.1. Стратифицируем многообразие 1-струй J1 (M, N) по рангам первого дифференциала. Ясно, что множество всех 1-струй с первым дифференциалом ранга г является гладким подмногообразием коразмерности (т—г)(п—г), а его замыкание состоит из многообразий струй с дифференциалом ранга не выше г. По (сильной) теореме трансверсальности малым шевелением / можно добиться трансверсальности 1-струйного расширения /1/ ко всем стратам построенной стратификации, что и доказывает теорему.
Замечание. Нетрудно проверить, что условие «трансверсальность к меньшему влечет трансверсальность к большему» для стратификации пространства матриц по рангам выполнено. Действительно, можно доказать, что всякую алгебраическую стратификацию можно доразбить так, что это условие станет выполняться. Отсюда следует, что наше условие выполнено почти во всех точках каждого страта. Но многообразие матриц ранга г однородно: каждая его точка переводится в любую другую действием прямого произведения линейных групп преобразований прообраза и образа, сохраняющим стратификацию по рангам. Следовательно, наше условие выполнено не только почти всюду, но всюду.
Таким образом, если M компактно, то множество гладких отображений /: M N, 1-струйные расширения которых трансвер-сальны стратификации многообразия J1 (M, N) по рангам, открыто и всюду плотно.
2. 4. Вторичные особенности. Вернемся к отображению сборки Уитни (рис. 21). В этом случае стратификация M по рангам сводится к разбиению на две части: множество особых точек E1 (/) и множество неособых точек E0 (/).
Заметим, что S1 — гладкое многообразие, включая и точку сборки 0. Эта точка выделяется тем, что в ней ядро Д касается E1. Иными словами, отображение /, ограниченное на параболу E1, имеет ранг 1 во всех точках, кроме точки 0. Таким образом, точка 0 принадлежит E1 (/ | E1 (/)), тогда как остальные точки пара-
3* 38
ОСНОВНЫЕ понятия
1ГЛ. I
болы принадлежат S0(ZIS1(Z))1 Мы будем обозначать ?*'»(/| E^(Z)) = = E'i. ь (Z). В этих обозначениях точка 0 (уитнеевская сборка) принадлежит E1,1 (Z) CZ E1 (Z).
Для любого набора целых чисел / = (гА, Z2.....ia) множество
E7 (Z) определяется индуктивно следующим образом.
Определение; Пусть E7 (/) = Ei...... (Z) CZ M — гладкое
многообразие. Тогда
E'i> **.....•"*> (Z) = E'fc+i (ZI Ej (Z))
есТь множество точек, где ядро дифференциала ограничения f на Er (Z) имеет размерность ik+1.
Замечание. По определению, многообразия
M ZD E*') ZD EfI- *» ZD Ei- '»> 4» з ...
вложены друг в друга.
Поэтому ядра дифференциалов ограничений f на эти вложенные подмногообразия M ZD E'i ZD ZD E*" ь> '» также вложены друг в друга. Итак, последовательность чисел J1, г2> i3, • - составляющих индекс I, должна быть невозрастающей: ^ ^ ig ... ^ 0. Если хоть одно из этих неравенств нарушено, множество Ej пусто.
Множество Ej (Z) не обязательно есть многообразие, поэтому данное выше определение (принадлежащее Тому) позволяет определить E7(Z) не для всех отображений f.
Боардман [100] предложил другое определение E7 (Z) в терминах пространства струй. Он определил для всякого набора целых чисел I = (iv . . ., ik) подмножество Ej в пространстве к-струй Jk(Мт, Nn), не зависящее ни от какого отображения f (см. ниже, стр. 40). Им доказана
Теорема 1. Множество E7 при любом l = (iv . . ., ik) есть подмногообразие (не обязательно замкнутое) коразмерности vi (т, п) в Jk (Мт, Nn) (формула для Vj приведена ниже, стр. 37).
Значение многообразий E7 в том, что «хорошее» отображение f имеет в точке X особенность E7 (Z) в смысле предыдущего определения (х (5 E7 (Z)) тогда и только тогда, когда струя fax принадлежит E7.
Определение. Отображение f называется хорошим, если его ^-струйное расширение трансверсально многообразиям E7.
Боардманом доказана
Теорема 2. 1) Если f — хорошее отображение, то E7(Z) = —ІҐ (Z)F1 (Е7), иными словами, E7 (Z) есть многообразие коразмерности V1 (т, п) в Mm, и X ? E7 (/) тогда и только тогда, когда струя Z в X принадлежит E7.
2) Всякое гладкое отображение f: Mm -*¦ Nn можно с любым числом производных сколь угодно точно аппроксимировать хорошим отображением. Классы zi 31
Предложение 2) вытекает из теоремы 1 и сильной теоремы трансверсальности.
Для A = I все эти результаты были установлены Томом [179], а для к = 2— Левиным [178].
Пример. Многообразие квадратных матриц коранга 1 имеет коразмерность 1, коранга 2 — коразмерность 4, вообще коранга к — коразмерность к2.
Следствие. Пусть отображение /: Mm -*¦ Nn «хорошее» в том смысле, что индуцированное отображение х ь-> (матрица дифференциала f в х) трансверсально многообразию Lr матриц ранга г. Тогда определенное в начале этого параграфа множество Е* (/), і = т — г, есть подмногообразие в Mm коразмерности (т—r)(n—r) = i (п—m.+ i).
