Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство слабой теоремы трансверсальности. Мы проведем это доказательство в специальном случае, когда С — линейное подпространство в В. Включим данное отображение /: А -* В в семейство отображений /,, где /е (x)=f (X)-B (є ? В).
Пусть р: В -» В/С — естественная проекция и s — не критическое значение отображения /. Тогда Z1 трансверсально к С. По теореме Бертини—Сарда существуют сколь угодно малые ?, для которых ps — не особое значение pof. Это доказывает утверждение о всюду плотности для теоремы трансверсальности в рассматриваемом специальном случае. Общий случай сводится к специальному, на чем мы здесь не останавливаемся; открытость множества отображений замкнутого многообразия, трансверсальных замкнутому подмногообразию, очевидна.
Слабая теорема трансверсальности неприменима непосредственно для доказательства теоремы о произведении корангов (п. 2.1), потому что отображение, к которому ее следовало бы при- классы S*
29
менять, определяется производной заданного гладкого отображения M -*¦ N. Слабая теорема трансверсальности гарантирует возможность приведения в общее положение малым шевелением в классе всех отображений и отнюдь не гарантирует, что пошевеленное отображение будет чьей-либо производной, т. е. что приведения производной в общее положение можно достичь шевелением исходного отображения M -* N.
Аналогичная трудность встречается во многих других задачах. Оказывается, однако, что эта трудность всегда преодолима: условия интегрируемости не препятствуют приведению в общее положение. Чтобы сформулировать соответствующую теорему, которая называется сильной теоремой трансверсальности (или просто теоремой трансверсальности), нам потребуется несколько понятий, которыми мы будем постоянно пользоваться и в дальнейшем. ? м
Пусть /: Mm -* Nn — гладкое отобра- рПс. 25.
жение их — точка из M (рис. 25).
Определение. Отображение, f имеет в х касание порядка kef, если
р*(/<&), /(?))< о M*, *))*,
где рд- и ом — какие-либо римановы метрики на N и M соответственно.
Пример. Пусть т=п—і,т. е. / и /—функции одной переменной. Касание порядка /с=0 означает совпадение значений в точке х: f (x)—f (х). Касание первого порядка означает совпадение (в точке х) значений / (х) и производной /' (х); касание порядка к— это совпадение отрезков рядов Тейлора до членов степени к включительно в точке х.
Заметим, что понятие касания не зависит от выбора метрик, участвовавших в определении. Касание порядка к в точке х является отношением эквивалентности.
Определение. Класс эквивалентности гладких отображений по отношению эквивалентности «касание порядка к в точке х» называется к-струей в точке х.
Обозначение, /с-струя отображения / в точке х обозначается через ]kJ.
Пример. 1-струя функции одной переменной определяется тройкой чисел (х, у, p=dy/dx).
Если фиксировать системы координат, то &-струю можно представлять себе как многочлен Тейлора степени к.
Определение. Множество всех /с-струй гладких отображений фиксированного многообразия Mm в фиксированное многооб- ОСЙОВЙЫЕ ПОНЯТИЙ
{ГЛ. і
разве Nn (во всевозможных точках из Mm) называется пространством к-струй отображений из Mm в Nn.
Об означение. Пространство А-струй отображений из Mm в Nn обозначается через Jk (Мш, N").
Пример. Пространство 1-струй отображений прямой на прямую J1 (R, R) — это трехмерное пространство с координатами (х, у, р).
В общем случае пространство /с-струй Jk (Mm, N") — дифференцируемое многообразие. Действительно, пусть (хг, . . ., хт) и (уіз • • •» У„) — локальные координаты в Mm и N" в окрестностях точек, X и f(x) соответственно. Отображение / локально задается формулами
їі = /і(гі. ®m)» Уп — Іп(х1> ¦••> Xm).
A-струя определяется заданием следующих чисел:
..........т- Ш.....
Эти числа задают локальные координаты в пространстве Ar-струй-получающем, таким образом, структуру гладкого многообразия Jk(Mm, N"). Локально многообразие Jk(Mm, N") можно представлять себе как пространство многочленов Тейлора степени к. Размерности многообразий &-струй нетрудно сосчитать:
J0 (M1 N) = Mm X Nn, dim J1 (М, N) = m + n + mn, ...
Многообразия fc-струй имеют ряд естественно возникающих дополнительных структур.
Отрезок ряда Тейлора длины к определяет отрезок ряда Тейлора длины к—1. Поэтому возникает цепочка проекций
J°{M,N)*-JX{M,N)«----
лг
Входящие в эту цепочку отображения (кроме двух левых) — отображения «забывания членов степени к в ряду Тейлора» являются гладкими расслоениями. Слои диффеоморфны линейным пространствам. В случае отображения J\M, N) J°(M, N) слоем над точкой (х, у) является пространство линейных операторов Horn (TxM, TyN). Этот слой имеет естественную структуру линейного пространства. При остальных к слой расслоения Jk /*~г не имеет естественной линейной структуры («теорема о неинвариантности высших дифференциалов»). Действительно, указанный слой при фиксированных системах координат отождествляется с пространством наборов п однородных многочленов степени к от т переменных и потому диффеоморфен линейному пространству. Но КЛАССЫ S*
