Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Два идеала в алгебре формальных рядов называются эквивалентными, если один из них превращается в другой при (формальной) замене переменных.
Доказательство предложения основано на следующих несложно проверяемых фактах 1)—3) (подробные доказательства см. в цитированной работе Мазера):
1) Sp = pS, ?2 = ?;
2) I (Р7) = /(7);
3) р7 = 7 тогда и только тогда, когда идеал 7 эквивалентен стандартному идеалу Ji(j)-, m-
Предположим, что рассматриваемый символ Боардмана I состоит из к элементов (іг, i2, . . ., ік) (т. е. ik+1 =. . . =0). В таком случае мы можем во всем предыдущем заменить алгебру формальных степенных рядов алгеброй А-струй С[[X1, . . ., ^m]j/mfc+1. КЛАССЫ S*
45
Рассмотрим пространство А-струй отображений из Cm в С, переводящих 0 в 0. В этом пространстве мы определим для каждого символа Боардмана I многообразие Воардмана Hr как множество тех струй отображений, для которых символ Боардмана идеала, построенного по компонентам отображения (т. е. по п функциям тп переменных, задающим отображение), равен I.
Каждый идеал с символом Боардмана I при боардманизации переходит в идеал, эквивалентный стандартному идеалу с символом I. Сопоставим каждой &-струе отображения из E1 тот идеал, эквивалентный стандартному, который получается из идеала, натянутого на компоненты струи при боардманизации. Полученное отображение является гладким расслоением. Обозначим через U базу этого расслоения, т. е. множество всех идеалов, эквивалентных стандартному идеалу с символом I в алгебре А-струй.
Каждый слой построенного расслоения. H1 —> U представляет собой многообразие всех й-струй отображений, определяющих идеалы, боардманизации которых все являются фиксированным идеалом, эквивалентным стандартному. В частности, слой над стандартным идеалом — это многообразие всех A-струй отображений, порождающих после боардманизации стандартный идеал. Этот слой мы обозначим через V.
Коразмерность многообразия Боардмана L7 в пространстве к-струй, переводящих OeO, равна коразмерности многообразия V k-струй отображений, порождающих после боардманизации стандартный идеал, уменьшенной на размерность многообразия U всех идеалов, эквивалентных стандартному:
codim Ej = codim V— dim U.
Уменьшаемое и вычитаемое в этой формуле вычисляются по отдельности.
Чтобы k-струя отображения задавала (после боардманизации) стандартный идеал с символом I, необходимо и почти достаточно, чтобы носители всех компонент принадлежали носителю стандартного идеала. Здесь «почти» означает, что если носители компонент принадлежат носителю стандартного идеала, то, при почти любом выборе коэффициентов компонент, натянутый на них идеал имеет заданный символ Боардмана I [«почти любой» означает «не принадлежащий некоторой гиперповерхности в пространстве наборов коэффициентов»; кроме того, предполагается, что выполнено условие п ^ т—11 и в случае равенства п—т—11 также г2—. . .=J4=O (если это условие нарушается, то Ej пусто) ].
Из сказанного вытекает, что коразмерность многообразия V струй, задающих стандартный идеал с символом Боардмана I в многообразии всех A-струй гладких отображений из Cm в С, 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
переводящих 0 в 0, в п раз больше, чем коразмерность стандартного идеала в максимальном идеале да:
codim V — п dim VCij Ji-, т — П]х (I).
Чтобы вычислить размерность многообразия всех идеалов^ эквивалентных стандартному, рассмотрим естественное действие группы /с-струй диффеоморфизмов пространства Cm, оставляющих О на месте, на множество идеалов алгебры /с-струй. Рассмотрим подгруппу, образованную струями диффеоморфизмов, переводящих стандартный идеал с символом Боардмана I в алгебре к-
струй в себя (т. е. рассмотрим стационарную подгруппу стандартного идеала). Мы обозначим эту подгруппу группы /с-струй диффеоморфизмов (Cm, 0) в себя через H. Размерность многообразия U всех идеалов, эквивалентных стандартному, равна коразмерности подгруппы H во всей группе k-струй диффеоморфизмов.
Таким образом, остается выяснить, сколько ограничений накладывает на компоненты диффеоморфизма условие сохранения стандартного идеала с символом Боардмана I.
Для формулировки результата подсчета этих ограничений удобно обратиться к диаграмме Юнга (рис. 29). Напомним, что мы обозначили через к, длину столбца Xs в диаграмме, т. е. длину столбца, в верхней клетке которого в нулевой строке стоит xs.
Определим для каждой переменной х„ усеченную на уровне х3 диаграмму, получаемую из исходной диаграммы Юнга выкидыванием всех строк, пересекающих столбец xs, кроме нулевой (число их равно ks—1). В терминах символа Боардмана усечение на уровне хв означает вычеркивание первых ks—1 элементов символа: I1,. . . • • Ifei-I- Все усеченные диаграммы для диаграммы рис. 29 показаны на рис. 30.
Предложение. Чтобы диффеоморфизм переводил стандартный идеал в себя, необходимо и'почти достаточно, чтобы он переводил каждую координатную функцию Xs в функцию из стандартного идеала, соответствующего диаграмме, усеченной на уровне хг.
Ограничения, накладываемые этим предложением на диффеоморфизм, можно записать в виде g*хв ? Jsks~ij, где S — оператор, зачеркивающий первый элемент символа.
