Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
составленные из частных произ-
водных функций из В.
Замечание. Якобиево расширение идеала инвариантно, т.е.
не зависит от системы координат xv . . хт. Ибо
а определитель полилинеен.
Лемма. Afc(В) убывает с ростом к:
Am(B) С Ak(B) (к= 1,2, ...).
Это следует из разложения определителя по строке.
Определение. Якобиево расширение Ak (В) называется критическим, если Д к(В)фА, Akl (В) = A.
Иными словами, для критического расширения порядок присоединенных миноров есть наименьший порядок, при котором расширение не совпадает еще со всей алгеброй.
Пример. Пусть т = 4, идеал В порожден xv хг, х% х\. Тогда критическое якобиево расширение A3(B) порождено X1, х2, х3, X1. Для полученного идеала As(B) критическое якобиево расширение пятое: A6Aa(B) = A3(B).
Пример. Пусть т= 1, идеал В порожден х3. Последовательные критические расширения:
A1(B) = Axi, A1A1(B) = Ax, A2A1A1(B) = Ax.
Для дальнейшего удобнее нумеровать расширения несколько иначе.
Обозначение. А* = Ат_м.
В примере с m = i критические расширения Да и A0A2.
В примере с т= 1: Д1, A1A1 и A0A1A1.
Пусть I — набор целых чисел, I1 ^ i2 ^ . . . ik.
Определение. Пусть росток отображения/: Mm-^N" задается в координатах х, у формулами y. = f.(x), /(0) = 0. Мы скажем, что f имеет в 0 особенность класса Ej, если последовательные критические якобиевы расширения идеала, порожденного функциями /,. (х) (І = 1, ..., п), суть Д*'йД*'*-1 . . . Д<1. Мы будем также говорить, что указанный идеал имеет символ Боардмана I.
Пример. Отображение у = х3 имеет в 0 особенность класса E1'у = zfc+1 — класса Е1*» Отображение JZ1 = X1X2, у2 = хf — х\ и отображение Iy1 = -T1, іI2 = Xv у3 = х\ + х\ -f- X1X3 -f- X7Xi, — CT- X3Xi — особенность E2, КЛАССЫ Ejf
Замечание. Очевидно, данное выше определение налагает ограничения лишь на коэффициенты тейлоровского разложения до степени к включительно. Легко проверить, что фактически условия не зависят от системы координат и накладываются лишь на А-струю у'о (/)• Множество всех /с-струй, удовлетворяющих этим условиям, и определяет пересечение множества Ii1 с Jlc (М, N) со слоем расслоения Jlc (М, N) -> M X N.
2.6. Вычисление числа Боардмана {і (I). Сейчас мы выразим число Боардмана [a (I) как коразмерность некоторого идеала, а также как число целых точек в некотором выпуклом многограннике.
Рассмотрим символ Боардмана I= •••}. Мы будем
формально считать этот символ бесконечным, предполагая, что все zfc, начиная с некоторого, равны нулю. Пусть т ^ Z1. Мы сопоставим символу I идеал Jj; „, в алгебре формальных степенных рядов (с комплексными, для определенности, коэффициентами) О T т переменных (хх, . . хт) по следующему правилу:
11- т J т J i1, т "j- Iis, т ~f- • • ¦ >
где Jit т означает идеал, порожденный (х1г . . ., хт_{).
Определение. Построенный выше идеал называется стандартным идеалом Боардмана с символом I в алгебре рядов от т переменных.
Пример 0. Пусть 1 = 0. Тогда JI; т — максимальный идеал, состоящий из рядов без свободного члена.
Пример 1. Пусть Тогда I имеет обязательно вид
1 = ( 1, ... 1) (к единиц). Стандартный идеал с таким символом ЄСТЬ /о;+ї и состоит из рядов, делящихся на x\+l.
Пример 2. Пусть 7/1 = 2. Тогда I имеет обязательно вид / = (2, ..., 2, 1,....1) (р двоек и q единиц). Стандартный идеал с таким символом есть Zff* -(- Jr^f+1, т. е. есть идеал, порожденный xf+1 и всеми одночленами степени р-\-
-f- ? + 1 от X1 И X2.
Чтобы представить себе этот идеал, удобно воспользоваться диаграммой Ньютона, т. е. изображать одночлен целочислен-
ной точкой (P1, р2) на плоскости (рис. 28).
Рассматриваемый стандартный идеал состоит из всех рядов, в которые входят с ненулевыми коэффициентами лишь одночлены, показатели которых принадлежат заштрихованной на рис. 28 области. Эта область называется носителем идеала. Точка (рг, р2) принадлежит носителю, если P1 P или PljTP2 > PjTq- Дополнение к носителю является выпуклым многогранником. Он задается неравенствами P1 ^ р, P1jTP2 ^ P+Я (и, разумеетсяs P1 ^ iu
ОСНОВНЫЕ понятия
[ИІ, і
«о - S •IT« .гл. Л',
i, = J х,
и xJ
h=> хз
^ 0) Pz ^ 0)- Если ряд содержит с ненулевым коэффициентом хоть один одночлен с показателем из описанного выше многоугольника, то этот ряд не принадлежит стандартному идеалу.
Задача. Найти определенный на стр. 40 символ Боардмана описанного стандартного идеала.
Ответ. (2, . . ., 2, 1, . . ., 1) {р двоек и q единиц).
В случае т переменных диаграмма Ньютона строится в положительном ортанте решетки в m-мерном пространстве. Стандартный идеал, как и в рассмотренных примерах, задается своим носителем. Чтобы описать этот носитель, удобно построить по символу I и числу т диаграмму Юнга (на рис. 29 это сделано для символа (З, З, 1) и числа 7/1==5). Эта диаграмма начинается с нулевой строки длины I0 =т. Следующие строки имеют длины I1, га, .... Клетки нулевой н^= і, Mli=Hj=-I х-.,-*,=/ строки заполняются справа налево
переменными (х1? . . ., Xm).
Рис. 29. В клетках следующих строк диа-
