Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арнольд В.И. -> "Особенности дифференцируемых отображений Том 1" -> 11

Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.

Арнольд В.И. , Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений Том 1 — М.: Наука, 1982. — 303 c.
Скачать (прямая ссылка): osobennostidifotobrajent11982.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 129 >> Следующая


ОСІЮВЙЬІЕ ПОНЯТИЯ

[гй. x

Чтобы понять, откуда берется такая формула, мы рассмотрим сначала соответствующую задачу линейной алгебры.

2.2. Стратификация пространства линейных операторов. Рассмотрим множество всех линейных операторов A: Rm -» R". Это линейное пространство конечной размерности тп (выбрав базисы, можно отождествить операторы с матрицами порядка т. Xn). Мы будем обозначать зто пространство через L (т, п). Группы линейных замен координат в пространстве прообраза GL (т) и в пространстве образа GL (п) действуют на пространство матриц L (т, п), и возникает лево-правое действие прямого произведения обеих групп. Две матрицы лежат в одной орбите этого действия, если они являются матрицами одного и того же оператора при разных выборах базисов в пространствах прообраза и образа.

Матрица любого оператора А записывается при подходящем выборе базисов в специальном виде:

где Er — единичная матрица порядка r=rank А. Таким образом, множество всех матриц порядка тХп ранга г является одной орбитой лево-правого действия группы GL (m)xGL (п) на L (т, п).

Лемма. Множество всех матриц ранга г образует в L (т, п) гладкое подмногообразие, коразмерность которого равна произведению корангов.

Доказательство. Поскольку матрицу любого оператора ранга г в подходящем базисе можно записать в виде A0, достаточно доказать лемму в окрестности этой матрицы. Запишем близкую к A0 матрицу в виде A При малых (ak l) ранг А не меньше г. Он равен г, если и только если равны нулю все миноры порядка r-f-1, окаймляющие Er.

Мы получаем систему уравнений относительно элементов матрицы (aktl), определяющую многообразие Lr в окрестности матрицы A0. Число этих уравнений равно числу окаймляющих миноров порядка r-f-1, т. е. равно произведению корангов (?п—г)X X (я.—г). Эти уравнения независимы. Действительно, рассмотрим окаймляющий минор, полученный добавлением строки и столбца, на пересечении которых стоит akil. Разложение этого минора в ряд Тейлора по а начинается с аъ>1-\-0 (а2). Поэтому дифференциалы наших (т—г)(п—г) миноров в пуле независимы.

Раз дифференциалы миноров независимы, равенство" миноров . нулю по теореме о неявной функции определяет подмногообразие, коразмерность которого равна числу уравнений, что и требовалось.

Разбиение пространства всех линейных операторов (матриц) L (т, п) на подмногообразия Lr операторов (матриц) различных классы S*

25

рангов называется естественной стратификацией, а многообразия Lr — его стратами. Мы вычислили выше коразмерности этих стратов: они равны произведениям корангов. Например, при т=п коразмерности стратов коранга 1, 2, 3, . . . равны соответственно

Задача. Найти коразмерность множества симметрических матриц коранга к в пространстве всех симметрических матриц порядка п.

Ответ .к (Jt+1) /2, т. е. 1, 3, 6, . . . при Jfc=I1 2, 3, . . .

2.3. Теоремы трансверсальности. Чтобы вывести сформулированную в п.2.1 теорему из алгебраической леммы п. 2.2, удобно воспользоваться некоторыми общими понятиями и теоремами.

Определение. Два линейных подпространства конечномерного линейного пространства называются трансверсалъными, если их сумма есть все пространство (рис. 22).

Пример. В трехмерном пространстве два одномерных подпространства никогда не трансверсальны, а два несовпадающих двумерных — всегда трансверсальны, одномерное и двумерное трансверсальны, только если одпомерное не лежит в двумерном.

Определение. Пусть дано гладкое отображение /: А В многообразия А в многообразие В, снабженное гладким подмногообразием С. Отображение / называется трансверсаль-ным к С в точке а из 4, если либо / (а) не принадлежит С, либо (рис. 23) образ касательного пространства к Л в а под действием производной трансверсален к касательному пространству к С:

Отображение / называется трансверсалъним к С, если оно транс-версально к С в каждой точке из А.

Предложение. Если /: А В трансверсалъно к С, то f'1 (С). — гладкое подмногообразие в А, имеющее в А такую же коразмерность, какую С имеет в В.

Пример. Пусть С — кривая в трехмерном пространстве В, и пусть А одномерно. Тогда /: А В траневерсально к С, если и только если образ А не пересекается с С,

1, 4, 9, .

Рис. 22.

Рис. 23.

LJ +TfwC = т,{а>в. iu

основные понятия

[ИІ, і

Зам ечание. Образ А при отображении / может быть подмногообразием в В, трансверсальным к С, а отображение / может при этом не быть трансверсальным к С.

Пример. Отображение прямой A = (а) на плоскость B=Kb1, Ь2)}, снабженную подмногообразием С Ib1=O), заданное уравнениями ^1=а3, Ь.г=O-

Замечание. Наиболее важным случаем является случай, когда В — линейное пространство, а С — его подпространство. Обозначим через D фактор-пространство и через р естественную ' проекцию р: В —> D, переводящую С в нуль. В этих обозначениях

отображение /: А -*¦ В транс-версально С, если и только если нуль — неособое значение отображения рof: A -*D. (Особое Рис- 24¦ значение отображения — это его

значение в особой точке; особая точка — это точка, в которой производная не есть отображение «на»; для отображений /: Mm -*¦ Nn cm < ге все точки из M особые, особые же значения — это точки из / (M).)
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed