Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
1.7. Катастрофы. Теорема Уитни утверждает, что складки и сборки не уничтожаются при малых шевелениях, а все более сложные особенности рассыпаются при малом шевелении на складки и сборки и потому не должны встречаться у гладких отображений двумерных многообразий общего положения. Гладкие отображения встречаются везде. По теореме Уитни мы должны повсюду встречать контуры складок и острия полукубических парабол на них. Эта замечательная теорема породила много спекуляций, главным образом связанных с именами Р. Тома и К. Зимана. Вся область применений теоремы Уитни была названа Томом теорией
CCr
OC3 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
катастроф. По теории катастроф опубликованы и публикаются сотни работ, главным образом прикладных. Обычная схема рассуждений в теории катастроф такова. Рассматривается гладкая поверхность в трехмерном пространстве, о которой обычно почти ничего не известно, вместе с отображением проектирования на плоскость. Поскольку о поверхности ничего не известно, она предполагается поверхностью общего положения. В таком случае особенности проектирования — складки и сборки. Уже одно это может приводить к некоторой информации о скачках, или «катастрофах», которые могут происходить с рассматриваемыми объектами.
Ниже приведен пример такого «приложения». Он более или менее заимствован из работ Зимана.
Будем характеризовать творческую личность (скажем, ученого) тремя параметрами, называемыми «техника», «увлеченность», «достижения». По-видимому, между этими параметрами должна быть зависимость. Тем самым возникает поверхность в трехмерном пространстве с координатами (Т, У, Д). Спроектируем эту поверхность на плоскость (Т, У). Для поверхности общего положения особенности проектирования — складки и сборки. Утверждается, что сборка, расположенная, как это изображено на рис. 13, удовлетворительно описывает наблюдаемые явления.
Действительно, посмотрим, как в этих предположениях будут меняться достижения ученого в зависимости от его техники и увлеченности. Если увлеченность невелика, то достижения монотонно и довольно медленно растут с техникой. Если увлеченность достаточно велика, то наступают качественно новые явления. В этом случае достижения с ростом техники могут возрастать скачком. Область высоких достижений, в которую мы при этом попадаем, обозначена на нашей поверхности словом «гении».
С другой стороны, рост увлеченности, не подкрепленный соответствующим ростом техники, приводит в область, обозначенную словом «маньяки». Поучительно, что «катастрофы» — скачки из. состояния «гений» в состояние «маньяк» и обратно — происходят на разных линиях, причем при достаточно большой увлеченности ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
17
гений и маньяк могут иметь равную технику, различаясь лишь достижениями.
Недостатки описанной модели слишком очевидны, чтобы говорить о них подробнее (см., например, [167]).
Существуют серьезные применения теории особенностей — например, в теории упругости, в оптике (особенности каустик и волновых фронтов), в теории осциллирующих интегралов (метод стационарной фазы) и т. д. Мы вернемся к этим применениям после того, как будет развита соответствующая техника.
1.8. Поле ядер производной для складки и для сборки. Распадения более сложных особенностей. Вернемся к сборке Уитни (рис. 9) /: R2^R2:
Jz1 = х\ -f- X1X2, Уа == х%~
Задача. Найти ядро производной /^x отображения / в точке х.
Решение. Матрица Якоби
(Зх? х2 xt\
О l)
имеет ранг 2 во всех точках, кроме критических. Критические точки образуют параболу 3xf-f-x2 =0. В них ранг матрицы Якоби равен 1. Следовательно, ядро производной имеет размерность 1 во всех этих точках (как в точках складки, так и в точке сборки).
Таким образом, на -параболе критических точек возникает^поле] прямых — поле| ядер производной. "
Рассматривая J матрицу ?Якоби, с мы ! замечаем, что ядро производной в каждой точке параллельно оси X1 (рис. 14).
Замечай ше. Из решения задачи видно, что ядро производной касается кривой особых точек только в точке сборки. Это замечание часто позволяет быстро находить точки сборки отображений общего положения двумерных многообразий. Согласно теореме Уитни для такого отображения: 1) множество критических точек — гладкая кривая, 2) ядро производной в каждой точке этой кривой одномерно, 3) в общих точках кривой особых точек ядро производной трансверсально кривой, но в отдельных точках этой кривой ядро касается ее.
Эти последние точки и являются точками сборки.
2 В. И. Арнольд и др. 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Пример. Рассмотрим отображение плоскости комплексного переменного z=x±-\-ix2 на плоскость комплексного переменного W=Ij1-^iy2, заданное формулой w=z2, как гладкое отображение двумерной вещественной плоскости на двумерную вещественную плоскость:
Ух = х\ — ХЬ У г — 2хІх2-
Ранг производной равен двум всюду, кроме точки z=0, где производная равна нулю и где ее ядро, следовательно, двумерно.
Мы заключаем, что рассматриваемое отображение имеет в начале координат особенность, отличную от складки и сборки. Следовательно, по теореме Уитни оно неустойчиво, и его особенность в нуле при малом шевелении отображения должна распасться на складки и сборки.
