Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 1. 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
при малом шевелении функции она не исчезает, но лишь слегка сдвигается.
Совершенно иначе ведет себя при малых шевелениях вырожденная критическая точка функции у =X3.
Пример. Рассмотрим семейство функций одной переменной у =X3-I-SX. При малых є функции семейства можно рассматривать как малое шевеление функции у =X3. Мы видим, что при этом шевелении вырожденная критическая точка х =0 либо исчезает (при
є >0), либо распадается на две невырожденных, на расстоянии порядка
\]\ & I от нее (при є <[ 0).
Таким образом, критическая точка функции у =х2 устойчива, а функции у =х3 — неустойчива.
В случае функций одной переменной разобраться во всей ситуации нетрудно. Рассмотрим пространство Q всех интересующих нас функций *).
Выделим в этом пространстве мно-Рис. 2. жество функций, имеющих вырожден-
ные критические точки или имеющих совпадающие значения в разных критических точках (рис. 2). [В случае, когда область определения — отрезок, мы будем причислять концевую точку к критическим, считая ее невырожденной, если производная в ней ненулевая. ] Нетрудно сообразить, что такие «вырожденные» функции образуют тощее множество, а именно гиперповерхность, т. е. поверхность коразмерности один, «задаваемую одним уравнением», в нашем пространстве функций (ниже мы как придадим этим словам точный смысл, так и докажем соответствующую теорему в более общей ситуации). Указанная гиперповерхность делит наше пространство функций на части, в каждой из которых все функции «устроены одинаково»: их значения в последовательных критических точках идут для всех функций в каждой из указанных областей в одном порядке. Функции, не имеющие ни вырожденных критических точек, ни кратных критических значений, называются функциями Морса. При малом шевелении функция Морса «сохраняет свой вид» и может быть превращена в исходную функцию гладкими заменами независимой и зависимой переменных х и у. В этом смысле функция Морса устойчива. Таким образом, в рассматриваемом случае отображений с одномерными пространствами прообразов и образов устойчивые отображения образуют открытое
*) Это может быть пространство бесконечно дифференцируемых или достаточно гладких функций, или пространство аналитических функций, или даже пространство многочленов; область определения функций удобно считать компактной, рассматривая функции на окружности или на отрезке. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
7
всюду плотное множество в пространстве всех отображений. При этом устойчивые отображения допускают достаточно явное описание и классификацию, а неустойчивые, хотя и могут быть устроены гораздо более сложным образом (множество критических точек гладкой функции может быть произвольным замкнутым множеством), превращаются в устойчивые при малом шевелении: каждая сложная особенность рассыпается на несколько невырожденных, устойчивых.
Идеал, к которому стремится теория особенностей, достигнут в частном случае отображений на прямую (теория Морса). Интересующие нас результаты теории Морса можно формулировать следующим образом.
Теорема. 1) Устойчивые отображения f: Mm —> R1 замкнутого *) многообразия Mm на прямую образуют всюду плотное множество в пространстве всех гладких отображений.
2) Чтобы отображение f было устойчивым, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий-.
M1. Отображение f устойчиво в каждой точке (иначе говоря, все критические точки функции f невырождены).
M2. Все критические значения функции f различны.
3) Отображение f: Mm R1 устойчиво в точке х0 тогда и только тогда, когда в окрестностях точек X0 ? Mm и y0 — f (х0) ? R1 можно так ввести координаты X1, . . ., хт", у, что отображение запишется в одном из т-f-2 видов:
МІ. у = X1.
МИ,. у = ... +xi-x|+1- -х* г(& = 0,1,...,т).
Доказательство"]см., например, в»[69]. I
Возникает вопрос, сохранится ли "такое положение в больших размерностях, т. е. для !отображений /: Mm-^-Nn многообразий произвольных размерностей тип.
1.2. Критические точки и критические значения гладких отображений. Рассмотрим дифференцируемое отображение /: Mm ->• -WV". Прежде всего мы должны перенести на этот случай понятие критической точки. Производная отображения / в точке х представляет собой линейное отображение касательного пространства к многообразию-прообразу в точке х в касательное пространство к многообразию-образу в точке / (х):
и TxMm -> T/(x)Nn.
Пример. Пусть M2 — поверхность сферы в трехмерном пространстве, N2 — плоскость, / — проектирование сферы вдоль вертикали на горизонтальную плоскость (рис. 3).
*) Здесь и далее замкнутое многообразие — это комцактное многообразие без края» 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
Линейное отображение Zsjtx плоскости TxM, касательной к сфере в точке X1 в плоскость Tf (X)N, касательную к горизонтальной плоскости, является невырожденным линейным отображением, если точка X не принадлежит горизонтальному экватору сферы. Если же X — точка экватора, то касательная плоскость к сфере в точке х содержит вертикальную прямую. В этом случае оператор проектирования Zsjtx имеет нетривиальное ядро (подпространство, переходящее в нуль). Ядро оператора в точках экватора одномерно. Ранг оператора Z** в этих точках равен 1.
