Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема Уитни. Отображение двумерного многообр -зия в двумерное устойчиво в точке тогда и только тогда, когда в подходящих локальных координатах (X1, х2) в прообразе и (г/і,г/2) в образе отображение записывается в одном из трех видов:
VI y1 =X1, у2=х2 {регулярная точка);
VII Ij1 =Xu У2 =? (складка)\
VIII Уг =^+X1X2, у 2 =X2 (сборка)
(рассматриваемая точка имеет координаты X1=Xi=O).
Иными словами, каждый устойчивый росток отображения двумерного многообразия на двумерное дифференцируемо эквивалентен одному их трех ростков отображений приведенного списка в нуле.
Первый из приведенных ростков — это росток диффеоморфизма. К такому виду приводится всякое гладкое отображение двумерных многообразий в окрестности некритической точки.
Особенность отображения второго типа называется складкой. Это отображение плоскости на плоскость можно рассматривать как семейство отображений прямой на прямую (у1=х§, зависящих (тривиальным образом) от одного параметра (г/2=х2).
Пример. Проектирование сферы на горизонтальную плоскость имеет на горизонтальном экваторе особенность типа складки, в чем легко убедиться, выбрав подходящие локальные координаты (х2 и у2 — долгота, X1 — широта, рис. 7).
1.6. Сборка Уитни. Сборкой Уитни называется третья устойчивая особенность приведенного выше списка, т. е. особенность отображения
Ух-"І- У-2
в нуле. Чтобы ясно представить себе эту особенность, реализуем ее как особенность вертикального проектирования гладкой 1.6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[ГЛ. I
поверхности из трехмерного пространства на горизонтальную плоскость.
С этой целью рассмотрим график функции ух =^+?? в трехмерном пространстве с координатами (X1, х2, (рис. 8). График этот диффеоморфен плоскости (всякий график гладкого отображения диффеоморфен области определения): в качестве координат на графике можно взять X1 и х2. Рассмотрим пересечение графика с вертикальной плоскостью х2 =const. При фиксированном значении x2 уравнение ух =xf-^-x1x2 определяет кубическую параболу, лежащую в вертикальной плоскости. Несколько таких парабол изображено на рис. 8.
Если X2 0, то вдоль соответствующей кубической кривой у1 монотонно растет вместе с x1. Если же х2 <С 0, то ух имеет две критических точки — локальный максимум и локальный минимум.
Рассмотрим теперь проектирование нашего графика на горизонтальную плоскость, (X1, х2, ух) ь-> i-> (х2, г/j). Полученное гладкое отображение поверхности на плоскость имеет в начале координат особенность типа сборки. Действительно, рассмотрим следующие системы координат: (X1, х2) — на графике, (у1, у2 —х2) — на горизонтальной плоскости. В этих координатах отображение проектирование записывается в точности формулами сборки Уитни. Теорема Уитни утверждает, что особенность устойчива. В частности, при малом шевелении нашей поверхности в трехмерном пространстве образуется поверхность, проектирование которой на горизонтальную плоскость имеет в некоторой близкой к началу координат точке подобную же особенность.
Задача. Найти критические точки отображения Уитни
У x xi x1x2, у2 = х2.
Решение. Матрица Якоби имеет вид
_Aef +Z2 ®Л
W { о Ij'
В критических точках ранг этой матрицы меньше двух, т. е. ее определитель равен нулю: Ъх\-\-х2 =O. Следовательно, множество критических точек — гладкая кривая. На плоскости с координатами (?, Js) уравнение Зх2х-\-х2 =0 задает параболу (рис. 9).
Рис. 8. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
15
На нашем графике в трехмерном пространстве критические точки проектирования — это точки, где касательная к графику содержит вертикальную прямую. Ясно, что таковыми являются все критические точки функции Xj1 на описанных выше кубических параболах. Мы заключаем, что все эти точки образуют гладкую кривую на графике (без вычислений это не очевидно).
Задача. Найти критические значения отображения Уитни.
Решение. В критических точках X2 =—3xf. Подставляя вместо х2 его^ выражение через X1, получаем параметрическое уравнение множества критических значений:
уг=.х\-\- X1X2 =—2xf, IZ2 = X2Z=—3:cf.
Итак, множество критических значений — полукубическая парабола на плоскости (^1, у2). Эта кривая имеет особую точку (острие, называемое также точкой возврата) в начале координат. Она делит плоскость на две части. При отображении Уитни каждая точка из меньшей части имеет 3 прообразаі а из большей — один прообраз.
Замечание. Если смотреть на поверхность графика сверху внизг то мы увидим лишь верхнюю складку, заканчивающуюся в точке сборки, и она будет иметь вид половины полукубической параболы. Большинство поверхностей, которые мы BHflHMl — непрозрачные поверхности. Поэтому обычно мы видим, что складка заканчивается в точке сборки, но не замечаем острия.
Пример. Рассмотрим поверхность тора в^трехмерном пространстве, изображенную на рис. 10. Ясно видны две точки'сборки. Если бы тор был прозрачным, мы увидели бы картину, изображенную на рис. 11, с четырьмя сборками. Прозрачные торы встречаются редко. Чаще можно встретить гладкую поверхность стеклянной бутылки. Рассматривая горлышко, легко заметить две точки сборки (рис. 12). Двигая бутылку, можно убедиться в их устойчивости.
