Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
120 Допустим, что имеет место случай а ф f'(xо). Так как число / (Jre)+/ (д?о) находится между Г{хп) и f'(xо), то в силу теоремы Дарбу существует Cn с условием Xn < Cn < Хо, кроме того,
- X _ /'(*»)+ /'Ы /(*»)--2-•
Поскольку сп —У X0, согласно определению правого предела по Гейне имеем
/'(Cn)-* а.
Отсюда a = ZtlAZsl^ Т-Є. а — f'(xо), а это противоречит тому, что f'(xо) Ф а- Следовательно, предположение, что аф 6, неверно и а = Ь. А это значит, что функция f'(x) не может им^ть разрывов первого рода. Теорема 5 доказана.
Попутно мы доказали, что если f'(x) -+ Zq при х —у Xo+ (или X -+ X0-), то Z0 = /'(so).
Пример точки разрыва производной. Положим
, „ Г X2COS^, если X Ф О,
/W= п * '
t 0, если х = 0.
При X ф О
/'(x) = 2xcos—(-sin—,
X X
а при X = 0 по определению производной
>(0)= Iim К**)-™= щ, (A^cos1/Ax=0
дг->о Ax Длг-ю Ax
В точке х=0 не существует ни правого, ни левого предела /'(х). Определение 2. Если —У + оо при х —у х0, то говорят,
X-Xq (~)
что /(х) в точке Xq имеет бесконечную производную, и пишут:
/'(аг0)=+оо.
То же самое говорят и пишут о правой и левой производных. Пример, /(х) = т/х. При х^О имеем /'(х) = Тогда
2 у/X
ч л/Дх — О
/'(ОН-) = Iim ---= +оо.
дат—^o Дх
121 Лекция 20
§ 7. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
Теорема 1. Пусть /'(х) = 0 при всех х Є (а, 6). Тогда f(x) =const = )•
Доказательств о. По теореме Лагранжа имеем
Отсюда
Я.) = /(^).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть функция f(x) дифференцируема на (а, 6). Тогда для того чтобы f(x) не убывает на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы
/'(*)> О V а? Є (а, 6).
Доказательство. Необходимость. Условие неубывания функции /(ас) эквивалентно тому, что > 0. Переходя к пределу
в неравенствах, получим
/'(*) = Iim Mfl > о.
Дх-».о Ax ~
Достаточность. Если f'{x) > 0, то по теореме Лагранжа
= /'(0,0
при некотором с 6 (а, 6), т.е. функция /(х) не убывает на (а,Ь). Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Если }'{х) > 0 на интервале (a,b), то функция /(х) монотонно возрастает на (а, Ь).
Д о к a з а m е л ь с m Ь о. По теореме Лагранжа имеем
Д/(х) = /'(с)Дх > 0 при Дх > О, что и требовалось доказать.
122 Теорема 4. Пусть f(x) дифференцируема на отрезке [а, 6]. Тогда для того чтобы функция f(x) строго возрастала на нем, необходимо и достаточно, чтобы f'(x) > 0 на интервале (a, Ь) и f'(x) це обращалась в нуль тождественно ни на каком отрезке [аі, лежащем внутри отрезка [а, Ь].
Доказательство. Необходимость (от противного). Если условие теоремы не выполнено, то или /'(хо) < 0 для некоторой точки хо Є (а, Ь), или /'(х) = 0 при всех х Є [аі,6і]. Тогда в первом случае хо — точка убывания функции /(х), а во втором — /(х) = const на [аь&і]. Это противоречит условию возрастания функции f{x).
Достаточность. Так как по условию /'(х) >0, то* при любых ai < &1 , где а\,Ьі Є [а,6], имеем
т.е. /(х) не убывает.
Докажем, что /(х) возрастает. Пусть это не так, и f(a\) = /(61) при 6i > aj. Но тогда в силу неубывания /(х) на отрезке [ai,&i] имеем, что /(х) = const на нем, и, следовательно, f'(x) = 0 на (aі, ), что противоречит условию теоремы. Тем самым теорема 4 доказана полностью.
§ 8. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Теорема (неравенство Юнга). Пусть ct,? > 0, а + ? = I. Тогда при X > 0 имеем
Xa < ax + ?.
Доказательство. Рассмотрим функцию /(х) = Xa — ах — ?. Заметим, что /(1) = 1 — а ~ ? = 0. Далее, поскольку
/'(а?) = a(xa_1 - 1) < 0 при x > 1,
при X > 1 функция /(х) убывает. Следовательно, при х > 1 выполнено неравенство /(х) < /(1) = 0. Если же 0 < x < 1, то
/'(x) = a(xa~1-l)>0.
Отсюда получим, что /(х) < /(1) — 0 при 0 < х < 1. Таким образом, для всех X > 0 выполнено неравенство ха — ах — ? < 0, откуда следует справедливость теоремы.
123 Положим X = a/b > 0. Из неравенства Юнга имеем aabP < аа + ?b. Это неравенство справедливо при любых а,6>0. Положим теперь
«У" . vi'?
L^V-X UV 2—JV — \ vV
и просуммируем ПО v от 1 до п. Получим
1/а \ « / \ ?
L J? I ^1'
т. е.
«у- у/ «у ^ЛЕГ-І-І'"' VET=I».".
n / « \а / п V
Е«^(Е«П (IX")
Это неравенство называется неравенством Гельдера.
Докажем теперь неравенство Минковского. Пусть выполняются следующие условия: р > 1; а„, 6,,, > 0, t/ = 1,..., п. Тогда
/JL \1/р /JL /JL \ 1ZP
4 1/=1 7 xt/=i 7 4 /
Докозательстбо. Введем обозначение 1/р + 1/g = 1. Используя неравенство Гельдера, имеем
п п
/I ?(„„ + = Yl a^a" + M'"* + E W«* + = 5 + <?> i/=l 1/=1 1/=1
n N 1/р / n V 1/д
" / n \ 1/р / n \ д^^к+м'-.1^ ЕаР0 (E^+M^p-1M
1/=1 ^1/ = 1 ' ^ V=I '
П / n \ 1/р / " \ 1/д
с=Ема*+мр_1< (Ея) Ek+M^p-1M •
1/=1 ^tZ=I ' ^tZ=I '
Так как q{p— 1) = р, то
1/Р / " \ 1/Р\
/ / " N 1/Р / " \ 1/Р\
откуда, поскольку 1 — 1/g = 1/р, имеем
1/р /« \ 1/р
(n \ 1/р / n \ 1/р E-г) + (?«) -
124- что и требовалось доказать.
§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пусть <p(t) и ф(і) — две Функции, заданные и дифференцируемые на [0,1], и для всех t Є [0,1] имеет место неравенство <p'(t) > 0 (или <p'{t) < 0). Тогда <p(t) строго возрастает строгск убывает
