Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Д/Ы
Aj(Xo)
-І
m-f(xo)
д{х)-д(х0)
m
< Єї,
128- где с Є (x,xq) с Ia- Отсюда получим
(МЫ
Af(x0)
Ад(х0)
I + /
<?l + |/|< 1 + |/|.
\Ад(х0)
Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств:
Я*)
-I
f(x) _ Af(X0) + Af(X0) _ 1 д(х) A(f(x0) Лд(х0)
<
<
fix) Af(x0) д(х) Ад(х0)
+
МЫ
Ад(х0)
I
<
<
Af(x0) Ад(х0)
Ад(го)
Ф)
Л/(т0)
- 1
+ Єї =
Af
Ag
А +єі.
Но так как
Ag д(хо) , .
— = 1--y-f = 1 + а, где |<* < Si,
9 д(х)
Af
= 1
f(Xu)
то
/ ¦ /W
1 + а
A =
1+/?
Следовательно, получаем
- 1
= 1+/?, где \?\<61:
11 + ?\ - 0,5
M
9(х)
I
< (|/| + 1)4еі + Єї = ?І(4|/| + 5)-5.
Положим
4ІЧ+5.
Тогда для любого є = ^0, §(4)/|+5)^ найдено <5 = = $4 такое,
что для любого x 6 (а — 6, а) выполняется неравенство j^j- — /j < є. Это значит, что
lim m=i.
x-t-a
- з(х)
Теорема 2 доказана.
5 Лекции по математическому аналіт-
129 Следствиеі. Если в теореме 2 условия X а— и X ? (а — /і, а) заменять на условия х —У а+ и х є (а, а + h) , то утверждение теоремы остается в силе.
Для доказательства достаточно применить теорему 2 к функциям
Му) = /i(2а ~х) = f(x), gi{y) = (2а - х) = д(х).
Следствие2 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида — при X —> а). Пусть:
OO
1) f(x), д(х) определены и дифференцируемы в проколотой h-окрестности точки а;
2) f'{x),g'(x) ф Q в той же окрестности точки а;
3) f(x) —> оо, g(x) —»¦ оо при х а;
4) существует предел отношения производных Iimx-^a Тогда предел отношения функций ^j- существует и равен
lim м=Jim m
Xд(х) x-t-a д (х)
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из утверждений теоремы 2 и следствия -1.
Замечания. 1. В теоремах 1 и 2 условие х —у а— можно заменить условием X —» -foo или X —у —ос, а во вторых следствиях теорем 1 и 2 — на X оо.
Доказательство проводится посредством подходящей замены переменной. Например, в случае lim ^pl надо положить х = — 1 (і.
ir-4+oo ^Va7/
Тогда
я«)
RK-Ш ГЛ-i) Л(<)
«-.л 9't{-\)/h «;(-}) г;«'
Я'(х)
Отсюда следует существование предела
-
«->0- (яг) и затем по теореме 1 имеем
Jim = I= Iim Щ.
t-*0~ gi(x) X-++оо д(х)
2. Применение теоремы Штольца о пределе отношения двух последовательностей позволяет существенно упростить довольно громоздкий
130- вывод второго правила Лопиталя. Далее мы приведем еще один вариант доказательства теоремы 2, основанный на указанной выше
идее.
Доказательство теоремы 2. В силу определения предела по Гейне мы имеем, что условие —> I при х —У а—
означает выполнение условия —> / для любой возрастающей
последовательйости {хп}, сходящейся к а, хп ф а. Но так как по условию теоремы ^(х) —> оо при X —> а—, то и д(хп) —> оо при п —У оо, а это значит, что к отношению можно применить теорему
Штольца. Поэтому, используя еще и теорему Коши, будем иметь
' lim /Ы = lim /(«.+.)-/(«,) = lim
ти . . — Iiiii . - , — щи . . ,
«->оо д{хп) П-+0О 0(xn+i) - д(хп) п-+ со д'(сп)
если только последний предел существует. Но для чисел Cn мы имеем здесь неравенства хп < сп < xn+i, откуда следует, что сп —»¦ а при Tt —У оо, поэтому последний предел существует и равен I. Таким образом, теорема 2 доказана полностью.
Примеры. 1. Iim Xх = 1. По второму правилу Лопиталя имеем
її , Ir х
Inx— xlnx = -T1-, 1/х
In X 1 fx
lim —г = lim = Hm (—х) = О,
S-+0+ 1/х ?-+0+ -xjx2, г—»-0+
„. ,. X lim arlnar
lim Xх = lim eln* = e*-0+ = e0 = 1.
?-+0+ x-+0+
2. Используя первое правило Лопиталя, получим
,. X — sin х_. 1 — cos X . sin X 1 lim---= lim ——— = lim —— — -.
x-+0 Xй x-+0 3xz x~*0 OX 6
5* Лекция ЗО
§11. ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В качестве приложения докажем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, как ее еще называют, локальную формулу Тейлора.
Мы видим, что дифференциал df приближает приращение Af с точностью до бесконечно малой порядка, большего 1. Это означает также, что
Д/(а) — df(x)\x-a = о(Дх), т.е. имеем
f(x) — /(а) — f'(a)(x — а) = о(\х — а|) при х а.
Правило Лопиталя позволяет обобщить это утверждение. Рассмотрим многочлен Тейлора степени п:
Я(х) = /п(а, X) = /(а) + Ax+ ^(Д*)2 + • • • + I^M(Ax)", где Дх = X — а.
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть f(x) дифференцируема n — 1 раз в некоторой окрестности точки X = а и существует f^(a). Тогда
r(x) = /(х) — /п(а, х) — о((Дх)п) при Ax О,
Доказательство. Применим первое правило Лопиталя п— 1 раз при X —У а к отношению
а(х) = --
v ' (х — а)п
Получим
Bm , г<*>, = Htn
г-+а (х — а)" x-ta п(х — а)п-1
.. !-("-1J(S). I1. /("-1^(X) -д(п~1Цх)
= hm —77--- — —- lim-——--—
х-+а п!(х — а) п! х-+а x — а
132 Далее имеем
=r f{n-l)(a) + /(п>(а)(ж - а).
Отсюда
r^-^fx)
lim or(x) = Iim —-г—г?—т-г
х-*а V ' аг-*« ((х - a)n)("-1)
= Jt lim /•/'"-'>(»)-/'"-'>(<¦) _ ,., ч = ^ М(о) _ /М(а)) = 0
