Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 34

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 201 >> Следующая


(tit;)«'+1) = (M(i))' = E (Mc«(ra,v(j-m))/ =

т=0 ^m ^

109 (*-m+l)

m=0 ^ m^ m=0 ^

?=1 ^ ' ?=0 ^ ' (o)v<.+i) + Qtt(^i)v(O)((*) + (ts_ JYi(tv-t+i) =¦

?=1

3 + 1

= El %(t)V(S-t + 1):

поскольку

,=0 * «

4,:,)=(*;'

Теорема 1 доказана.

Имеется еще одно обозначение для п-й производной, а именно:



dxr

Последнее обозначение связано с понятием дифференциала высшего порядка, к определению которого мы приступаем.

Пусть функция f(x) дифференцируема на (а, 6). Тогда существует ее дифференциал

df{x) = f'{x)dx.

Зафиксируем значение приращения аргумента dx = Ax = h. Тогда df(x) можно будет рассматривать как функцию от х, заданную на том же интервале (а, Ь). Если она дифференцируема, то дифференциал имеет вид.

d(f(x)h) = f"{x)hAx.

Если мы в этом случае значение Ax возьмем снова равным h, то получим

d{f{x)h) = f"{x)h2 = f"(x)dx2.

Это выражение называется вторым дифференциалом и обозначается d2f(x), т.е.

d2f(x) = f,,{x)dx2.

110 Аналогично определим:

d3f(x) = d(d2f(x)) = f'"(x)dx3, CtnZ(X) = d(dn~1f(x)) = f^(x)dxn.

Очевидно, в силу такого определения можно записать:

/"м-

Целесообразность введения понятия п-го дифференциала будет ясна позднее. Например, далее мы увидим, что приращение Af(x) во многих случаях можно представить в виде

1 1! 2! З! + п!

(формула Берну лли). Смысл этого равенства мы уточним тогда, когда будем его доказывать.

Заметим, что уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности. Действительно, если

Г(х) = Мх) и f"(x) = f2(x),

TO при X = #(<) имеем

(/мож; = (Mmwm = ьт) ¦ (»'W)2+шо)ло;

Отсюда получим

d2f(g(x)) = К(д(№2 = f'JM*))^))2 + ҐЯШ№(*)> в то время как второй дифферёнциал функции f(x) равен

<*2/M =f'Jx (x)dx\

и при подстановке в правую часть равенства функции g(t) получим выражение fgg{g{x))(dg(x))2t которое, как видим, отличается от правой части равенства для d2f(g(x)). Следовательно, свойство инвариантности для второго дифференциала не имеет места.

Ui Для того чтобы глубже прояснить сущность свойства инвариантности дифференциала, мы рассмотрим несколько более общие понятия.

Будем называть дифференциальным мономом D^ порядка к от п функций f(x),g(x),..., h(x), п < к, одной переменной х следующее выражение

Dk = cfW(x)gW(z). ..h™(x) dxk,

где a -f /? + ¦ ¦ • H- 7 — к, причем а, /?,..., 7 являются натуральными числами и с — некоторая вещественная постоянная.

Всякая линейная комбинация дифференциальных мономов фиксированного порядка от одного и того же набора функций /, g,..., h называется однородным дифференциальным выражением порядка к. Неоднородным дифференциальным выражением называется линейная комбинация конечного числа мономов разного порядка, но от тех же функций f,g,..., h.

Следует отметить, что на любое дифференциальное выражение можно смотреть как на функцию двух независимых переменных, а именно: х и dx. Но в данный момент нас будет интересовать не функциональная, а алгебраическая сторона вопроса, точнее, свойство дифференциального выражения сохранять свою форму при замене независимой переменной х на функцию <p(t) и, соответственно, dx на d<p(t) = Поясним более четко, что

конкретно имеется в виду. Если подставим в однородное дифференциальное выражение D порядка к вместо х функцию <p(t), то вместо дифференциала dxk будем иметь выражение =

= (<р''(t))k(dt)k, а вместо производных f^{x),g^\x),.. — вы-

ражения f(cPit)), g^J {<p{t))f - • • > h$y(<p(t)), т.е. мы получим некоторое дифференциальное выражение В і, завсящее от t и от dt. Другое дифференциальное выражение В2, зависящее от тех же величин t и dt, получим, если то же однородное выражение D применим к функциям /И*)),Л(?(0)і т-е- вместо f(a)(x),gW(x),...,h^(x) рассмотрим ft?..., h[y\<p(t)), а вместо (dx)k — выражение (dt)k. Если при этом оказывается, что вне зависимости от вида функции <р(t) имеет место равенство В\ — І32, то мы говорим, что дифференциальное выражение D обладает свойством инвариантности, или инвариантно относительно замены переменной. В противном случае мы считаем, что оно указанным свойством не обладает. Иными словами, инвариантность В означает возможность перестановки Порядка выполнения операции замены переменной и операции вычисления этого дифференциального выражения, т.е. коммутативности этих двух операций.

В смысле введенных нами понятий дифференциалы первого и

112 высших порядков являются однородными дифференциальными выражениями, причем первый дифференциал обладает свойством инвариантности (относительно любой замены переменной), а дифференциалы порядка, большего единицы, этим свойством не обладают. Заметим, однако, что в случае линейной замены переменной инвариантность все же имеет место.

Возникает вопрос о том, существуют ли дифференциальные выражения порядка, большего единицы, обладающие свойством инвариантности. Было известно, что, вообще говоря, инвариантные дифференциальные выражения от нескольких функций существуют. В течение ряда лет профессор МГУ А. А. Кириллов привлекал внимание математиков к идущей от О. Веблена проблеме, связанной с описанием классов инвариантных дифференциальных выражений. Прояснить ситуацию в указанном круге вопросов в значительной степени удалось Ф. М. Малышеву в 1978 г. Единственным инвариантным дифференциальным выражением, зависящим от одной функции, является первый дифференциал. Для двух функций /ид все инвариантные выражения порождаются двумя однородными дифференциальными выражениями В\ и B2 вида В\ = f'g'dx2, B2 = {/"д' — f'g")dx3. Он доказал общую теорему о конечности количества N(n) "образующих" однородных дифференциальных выражений от п функций и получил оценку N(n) < гг.1. Кроме того, для степени инвариантного дифференциального выражения имеет место неравенство к < п(п + 1)/2 [23].
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed