Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
при <р' < 0) и эта функция имеет обратную функцию і = д(х). Совокупности пар (<p(t),\p(t)) задают функцию у = f(x) такую, что
(хуУ) = (х}/(х)) = (<р(1),ф(і))у
где X - <fi{t), t = д(х), f(x) = ф(д{х)). Найдем ее производную. Имеем
Ф'М*))
Л.) =У,{,(.))/(•) = 5?, .
поскольку
Si*) = 1
<Рд(9(х))'
Это равенство для f'{x) можно записать в следующем виде:
что дает нам правило нахождения производной функции, заданной параметрически. Таким же образом можно вычислить производные любого порядка. Найдем, например, формулу для второй производной. Имеем
/"W = CMO)-
С одной стороны, справедливо равенство С другой стороны, имеем
IPIMWV - - ^"(')у'(О-nw(t) (/,МО))«-(^J1--I7jJjjT-¦
Следовательно,
г (M(t\\ - ^v - W
UvW)) --jyja-¦ Лекция ЗО
§ 10. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Теоремаї (первое правило Лопиталя; неопределенность вида - при х —> а—). Пусть:
1) f(x) и д(х) определены и дифференцируемы в некотором интервале вида (а —Si, a), Si > 0;
2) Iim Дх) = lim 9{х) = 0;
х—ю — х—уа— %
3) f'(x),g'(x) ф 0 при всех х Є (а — S2, а) при некотором S2 > 0;
4) существует конечный или бесконечный предел при x —? а—
отношения ^xI, т.е. Iim K^r.
g'(x) T-+а-
Тогда существует предел отношения и имеет место равенство
Iim
Iim
Я»)
х-+а- д(х) х-*-а- д'(х)
Доказательство. Можно считать, что предел ^jfj при X —У а— является конечным числом и равен I, поскольку если это не так, то можно рассмотреть отношение J^fj-
Доопределим /(х) и д(х) в точке х = а, полагая /(а) = #(а) = 0. Тогда функции /(х) и д(х) непрерывны в точке а слева. Поскольку
рЩ —> I при X —> а—, для любого є > 0 существует J3 = J3(?) > 0 такое, что при всех х Є I(Se) = (а — іУз, а) имеем
/'M
9'{х)
< ?.
Положим S = min(Ji, ?2,^3)- Тогда для каждого х Є (а — 5, используя теорему Коши, получим
M
9(х)
-I
9І*) -9(^)
I
№ 9'(с)
/
где с 6 (х, а) с (а - а).
Таким образом, по определению предела
lim = I1
г—+а— (ДХ)
что и требовалось доказать.
126 Следствиеі. В теореме 1 можно заменить условие х —> а— я интервал (а — 6;а) на условие х —> а-f и интервал (a, a + <?).
Для доказательства этого факта достаточно сделать замену переменной у = 2a - х и применить теорему 1 к функциям /і (у) = f{x) и 91 (у) = 9ІХ)- Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям теоремы, причем у = 2а — х —у а— при х —> а+.
Следствие2 (первое правило Лопиталя; неопределенность вида - при х ^ а). Пусть:
1) }(х) и д(х) определены на некотором интервале (a — 6, a + rf) и дифференцируемы на нем, за исключением, быть может, точки х = а;
2) Iim fix) = lim g{x) = 0;
іc-ta х-+а
3) f'{x),g'{x)^0 при X е (a-S,a+ 6), x ф a;
4) существует конечный или бесконечный предел: Iimara ^гЩ-
Тогда существует предел Iim и имеет место равенство
lim Щ = Iim Щ.
g(x) т->а д'{х)
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 1 и следствия 1.
Похожая теорема имеет место для предела отношения и в том случае, когда f(x) и д(х) стремятся к оо при х —> а (неопределенность вида Однако доказательство в этом случае усложняется по
причине, которая будет ясна дальше.
Справедлива следующая теорема.
Теорема2 (второе правило Лопиталя; неопределенность вида — при х-+а—). Пусть:
OO
1) f(x) и д(х) дифференцируемы в интервале вида (a — h,a), h > 0;
2) f(x),g'(x) ф 0 при всех х Є (a — h, a);
3) /(х) оо, g(x) —у оо при X -Л а—;
4) существует конечный или бесконечный предел Iim Шр;-
х-+а— 3 К*}
Тогда предел отношения функций также существует и имеет место равенство
Г /(*) г /'(S)
lim -f-f = hm -jf-f. x—*a— g[x) x-±a- g'(x)
Доказательство. Очевидно, что можно считать
Iim
X-+а- д'[х\
127- т.е. предел конечен. Действительно, если Iim = оо, то
я'(х)
Iim 4W = o.
г-+
И вместо того чтобы доказывать, что Iim ЧгХ = оо, достаточно
х—+а— 9\х>
показать, что Iim 7? = 0. Одновременно это будет означать, что х^а- Jyx)
Hm 44 = оо.
х-*а- »(«}
Как и при доказательстве теоремы 1, будем использовать формулу
Коши. Но здесь ситуация сложнее, так как мы не можем сразу отношение заменить на • Тем не менее, это можно сделать
с малой погрешностью, которая, по существу, стремится к нулю. Будем считать, что в некоторой полуокрестности (a —hi, а) точки а выполняется неравенство /(х) / 0 и д(х) ф 0. Это возможно, поскольку f(x) 00, д(х) —у оо при х —> а—.
Пусть Єї — любое число, 0 < Єї < 1/2. Возьмем <?1 = Ji(^i) > О так, чтобы неравенство
fW
9'{х)
I
< Єї, S1 < min(/i,hi)
выполнялось для всех X из интервала (a — ,а). Это возможно, так
как
Iim Щ =
существует по условию. Пусть жо — некоторая точка из этой окрестности. Поскольку Iimar^a- /(ж) = 00, ТО найдется S2 = ^2(^1) > О такое, что
|/(я)|>ШїоД у *€(a-A3,a).
Єї
Аналогично найдется S3 = <їз(єі) > 0 такое, что
|<7(х)| >kMi V ж Є (a — ^з, a).
Пусть S4 = min(Ji,S2yS^), I4 = {х | х Є (a — <J4,а)}. Тогда для любого X ? I4 в силу теоремы Коши имеем
