Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 43

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 201 >> Следующая


T е о р е м а 1а. Пусть f (x) непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Если /'(х) меняет знак + на знак — при переходе через точку X0 слева направо, то f(x) имеет локальный максимум, если знак — на знак +, то локальный минимум, и если не меняет знак, то локального экстремума нет.

Доказательство совершенно аналогично Доказательству теоремы 1, так как там мы нигде не пользовались существованием производной функции /(х) В точке X = Xo-

Общее правило отыскания (локального и глобального) экстремума функции /(#) на отрезке в случае, когда /(х) непрерывна и кусочно-дифференцируема (т.е. дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек).

Находим все стационарные точки и точки, в которых /'(х) не существует, и проверяем их на экстремальность. Затем, добавляя концевые точки и выбирая наибольшее и наименьшее из значений функции в этих точках, находим ее глобальные экстремумы.

Теорема2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть f'(xо) = 0и существует f"(x0). Тогда:

1) если f"(xо) < 0, то точка X0 — точка (строгого) локального максимума;

2) если f"(xо) > 0, то точка Xo — точка (строгого) локального минимума.

Доказательство. 1. Так как f"(x0) < 0, то /'(х) убывает в точке х — х0, и поскольку f'{x0) = 0, то f'(x) меняет знак

145- с + на — при переходе через X0 слева направо. Поэтому по теореме 1 точка Xo является локальным максимумом.

2. /"(хо) > 0, поэтому /'{х) возрастает в точке х = х0. Из теоремы 1 тогда следует, что хо — точка локального минимума. Доказательство закончено.

ТеоремаЗ (третье достаточное условие экстремума). Пусть /'(X0) = ... = /f2^lj(X0) = о, /W(X0) Ф 0.

Тогда:

1) если /(2кЦхо) < 0, то X0 — точка локального максимума;

2) если f(2k^(x0) > 0, то х0 — точка локального минимума.

Доказательство.!. При k = 1 утверждение следует из теоремы 2. Пусть к > 1. Выразим /'(х) по формуле Тейлора:

/'(X)=/'ы+qsi(, -«.)+-+- X0)2*-3+

+ {2к — 2)! — '

Отсюда



(2к — 2)!

Так как /^2кЦхо) < 0, то /^2к~1Цх) убывает и, следовательно, меняет знак + на — при переходе через точку х0, а значит, и /'(х) мейяет знак + на —. Поэтому X0 — точка локального максимума. Случай 2 рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Определение 1. Функция /(х) называется выпуклой вверх на интервале (а, 6), если график функции лежит под касательной для любой точки данного интервала.

Это значит, что если X0 — произвольная фиксированная точка из (а,6) и

Z1(X) = /(х0) +/(X0)(X-X0),

то

/!(*)>/(*) VXGM).

Поясним, что график линейной функции fi(x) является касательной к графику f(x) в точке х0.

146- Определение 2. Функция /(ж) называется выпуклой вниз на

(a,b), если график ее лежит над касательной, т.е.

Д(ж)</(ж) Уж є (а, 6).

Теорема 4. 1. Если /"(ж) < 0 на (а, Ь), то /(ж) выпукла вверх на (а, Ь).

2. Если /"(ж) >0 на (а, 6), то /(ж) выпукла вниз на (а,Ь).

Доказательство. 1. Из формулы Тейлора имеем

/(ж) = /(жо) + Г(хо)(* - *о) + - x0)2,

где с Є (а, 6).

Так как /"(с) < 0, то /(ж) < /і(ж) Vx Є (а, 6), что и требовалось доказать. Случай 2 доказывается аналогично.

Теорема 4а. Если f"(x0) < 0 я /"(ж) непрерывна в х0, то 3 6-окрестность точки жо, в которой /(ж) выпукла вверх.

Доказательство. Поскольку /"(ж) непрерывна в точке жо и /"(жо) < 0, существует число > 0 такое, что /"(ж) < 0 в (Jl-окрестности ТОЧКИ Хо, и в ней по теореме 4 функция /(ж) выпукла вверх, что и требовалось доказать.

Замечание. Если в определениях 1 и 2 имеют место строгие неравенства, то функция /(ж) называется .строго выпуклой. Строгие знаки неравенства в теоремах 4 и 4а влекут за собой строгую выпуклость функции /(ж).

Теорема 5. Пусть функция /(ж) имеет первую производную на интервале (a,b) и выпукла на этом интервале. Тогда производная /'(ж) является непрерывной и монотонной функцией на этом интервале, причем строгая выпуклость /(ж) влечет за собой строгую монотонность /'(ж). Выпуклость вверх при этом соответствует убыванию, а выпуклость вниз — возрастанию производной /'(ж).

Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением только одного случая, а именно, когда функция выпукла вниз в нестрогом смысле. Выберем произвольным образом на интервале (a,b) две точки X1 < хг- Пусть у\ =/(х%) и у2 =/(жг). Точки (жі,уі) и (ж2, Уг) на координатной плоскости соединим хордой и ее угловой коэффициент обозначим через к0. Через точку (жі,уі) проведем

касательную прямую к графику функции у = /(ж). Поскольку /(ж) выпукла вниз, эта касательная лежит под графиком, следовательно, и под хордой, имея С ней общую точку (жі,Уі). Но это возможно

147- лишь в том случае, если угловой коэффициент касательной /'(хі) не превосходит углового коэффициента Хорды Aro) т.е. если f'(xі) < ко.

Рассуждая подобным образом относительно точки (х2,у2), приходим к неравенству ко < /'(х2), откуда имеем /'(^i) < < /'(а?2)- В силу произвольности выбора точек х\ < X2 это означает, что f'(x) не убывает на (а, 6).

Теперь заметим, что по теореме Дарбу функция f'{x) принимает все свои промежуточные значения, а это ввиду монотонности f(x) влечет за собой непрерывность функции f'{x). Таким образом, рассматриваемый случай разобран полностью.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed