Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Второе доказательство теоремы. Применим метод математической индукции по параметру п. При п — 1 утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что п > 1. Из условия теоремы вытекает, что функция г(х) дифференцируема (п — 1) раз в некоторой окрестности U точки X = а, и в самой точке дифференцируема п раз. Кроме того, в точке а сама функция и все ее производные до п-го порядка включительно равны нулю.
Далее, пусть х 6 U и Ax = х ~ а. Обозначим через g(t) функцию вида
g{t) = r{a + tAx).
Тогда имеем
r(x) = r(x) - r(a) = r(a + Ах) — г(а) = #(1) — ^r(O).
Отсюда, применяя формулу Лагранжа к функции g(t), при некотором
0 < ? < 1, получим
r(x) = д'(?) = г'х(<* + ?Ах) Дх.
Заметим, что точка a -f ?Дж € U. Поэтому к производным в правой части последнего равенства можно применить предположение индукции с заменой значения параметра п на п — 1. Тогда будем иметь
гі(а + ?Дх) = о(|х-аГ-1).
136- Отсюда следует, что г(х) = о(|х — а|п). Теорема доказана.
§ 12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В
ОБЩЕЙ ФОРМЕ
Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки можно записать приближенное равенство
f(x) fa fn{a,x).
Оказывается, что многочлен fn(a,x) может хорошо приближать /(х) и в некоторой, иногда весьма большой, окрестности точки а. Более того, знание всех чисел /(n^(а), соответствующих только одной точке а, часто позволяет вычислить f(x) при любом х с любой требуемой степенью точности. Этот факт важен не столько для вычислений, сколько для построения теории. Выражаясь более точно, мы сейчас докажем одну из важнейших теорем анализа, центральную теорему курса в этом семестре, а именно: формулу Тейлора с остаточным членом в общей форме (или в форме Шлемильха-Роша).
Теорема (формула Тейлора). Пусть f(x) — (" + 1) раз дифференцируемая функция на интервале (хо,х\). Пусть a <Ь — любые две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного a > 0 существует точка с, лежащая между а и Ь такая, что
„Ч , , ,4 n+1/b-aY „ ,„4-і /(п+1)(с)
гп(Ч = m - /.(«, ч =—(^j ¦ (ь - еГи. i-^ii.
Напомним, что
fn(a, b) = f(a) + LL±(b - a) + • ¦ • + (6 - a)".
1! Tll
Доказательство. Определим число H равенством
f(b) — fn(a, b)
?1 — -у.-г-,
(6 - а)а
По существу, нам надо доказать, что на интервале (а, 6) найдется точка с такая, что
я = П±1(6 _сГ+1-«.0).
ot ' (п + 1)!
137- Докажем это, опираясь на теорему Ролля. Равенство, определяющее число Н, можно записать так:
f(b)-fn(a,b)-H(b-a)a = 0.
Рассмотрим функцию <p(t), определенную на [а, 6] соотношением
Тогда, очевидно, <р(а) = 0. Кроме того, имеем, что <p(t) дифференцируема на (а, Ь) и непрерывна на [а, 6]. Далее, так как справедливо равенство fn{b,b) = f(b)> то
<fi(b) = f(b)-f(b)-H(b-b)« = 0.
Следовательно, по теореме Ролля на интервале (а, Ь) производная іp'(t) обращается в нуль в некоторой точке с, т.е.
<p'(t) = 0 при t = с, с Є (а, Ь).
Запишем <p'{t) в развернутой форме:
= (/?) + ^(4-0 + --+^^(*-*)")' + ^-!}-1.
Так как при s = 1,..., п имеем
ТО
(fi'it) = аН(Ь - 0е-1 - /(П+1,)(<) (Ь - t)n;
Ti!
Отсюда при t = с получаем
<р'(е) = аН(Ь - с)а-1 - /<п+1>(с)(Ь ,С)П = 0.
п!
Следовательно,
a v ' (п +1)!
Доказательство закончено.
138- Следствие. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха - Роша верна я при а >Ь.
Доказательство. 1. Если 6 = а, то /п(а,6) = /(в), rn(&) = 0 и формула имеет место.
2. Если b < а, то применим теорему к функции д(х) = /(2а — ж), і»! = 2а — Ь. Тогда bi > а и справедливо равенство
0(М=І7пМІ) + Я„(&І).
Но легко убедиться в том, что g(bi) = /(6), <7n(a,&i) = Л» (<*,&), Дп(6і) = rn(b). Действительно, имеем
(i>i — о)* = (а — b)s = (—1)'(6 — а)в;
дп(а, Ьг) = д(а) + ^{h - а) + • • • + ^f^i - а)" =
JLI пі
f'ia) f(nHa)
= Л«) + ^rr (6 -«) + ••• + L-tl(b - а)" = /п(а, 6).
1! tl!
Далее при некотором с\, а < с\ < Ь, справедливо равенство
Положим с — 2а — Тогда b < с < а,
Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша в случае а > 6 имеет тот же вид, что и при а < Ь. Следствие доказано.
Частные случаи формулы Тейлора.
1. Остаточный член в форме Лагранжа (a = n + 1). В этом случае
r ,H-^Vt-aV+',, -/'"+"(C)fi
+ ( J (п + 1)! — (п+1)! •
2. Остаток в форме Коши (а = 1):
і 6_С ^ cJ (п + 1)!" с = а + 0(6 — а), 0 < 0 < 1, 1-0=^1,
п!
139- Замечания. 1. Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае а = 0 обычно называется формулой Маклорена.
2. Сравнивая формулы Тейлора с остаточными членами в общей форме и в форме Пеано, видим, что в первом случае имеем более точный результат, однако достигается это за счет более жестких требований к функции. В самом деле, в первом случае в окрестности точки, в которой рассматривается разложение, требуется существование (п -Ь 1)-й производной данной функции, а во втором случае — только (п — 1)-й производной, то есть на две производные меньше. Лекция 23
