Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
п! \ ж — а / п!
Другими словами, а (ж) есть бесконечно малая функция при х а. Следовательно, r(a) = (ж- а)паг(ж), где а(х) — бесконечно малая, т.е.
г{ж) = о((ж - а)п).
Теорема доказана.
Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно использовать для вычисления пределов. Действительно, при x -4 О имеем, например,
x3 x5
sin X = X- - + -?]¦ + 0(я5)-
Отсюда
,. sinx-x + x3/6 х5/120 + о(хъ) 1
Iim-z-= Um-г-= -—г.
х—»о X5 JF-^o X5 120
Важно отметить, что локальная формула Тейлора имеет и глубокий содержательный смысл. В частности, она обобщает понятие диффе-ренцируемости функции в точке, поскольку при п = 1 мы получаем из нее данное выше определение дифференциала функции.
Будем говорить, что при некотором n € N функции /(ж) и д(ж) имеют касание п-го порядка в точке жо, если при ж —> жо выполняется соотношение /(ж) — д(ж) = о((х — жо)п). Тогда локальная формула Тейлора утверждает, что многочлен Тейлора fn(x) имеет касание п-го порядка с функцией /(ж).
Заметим, что если два многочлена n-й степени и Qn(ж) имеют
касание порядка п в некоторой точке жо с какой-либо функцией д(ж), то их коэффициенты совпадают и Pn(ж) = Qn(ж). Действительно, тогда имеем
Zin(ж) = Рп(х) - Qn(x) = (Рп(ж) - д(х)) + (д(ж) - фп(ж)) = о((ж - ж0)п).
133- Но так как многочлен hn(x) имеет степень п, то, устремляя х —> хо, получим, что все коэффициенты Л„ (ж), равны нулю. Это и означает, что Pn(х) и Qn(х) представляют собой один и тот же многочлен. Отсюда также следует, что многочлен Тейлора /п(х) = fn(a,x), из доказанной выше теоремы, определен однозначно. Производные функции /(х) в точке а выражаются через его коэффициенты с* по формулам
Интересно, что возможна ситуация, когда в точке а функция /(х) вторая производная /"(а) уже не существует, и в то же время в этой точке имеет место касание порядка п > 2 этой функции и многочлена Pn(х) степени п. Тогда при к > 2 величины
где cjt — коэффициенты многочлена Pfe (х) = ? с*(х — а)А, можно
рассматривать как обобщение понятия производной соответствующего порядка функции /(х) в точке х = а. Будем называть э*и числа метками к-го порядка функции /(х) в точке х = а и обозначать их через дк = oit(/{a)).
Приведем пример, в котором на отрезке [а, 6] функция /(х) "почти всюду" разрывна, но в то же время она на "всюду плотном множестве" имеет не ТОЛЬКО Производную первого порядка, HO И метки дк (/(х)) любого порядка (точный смысл слов, взятых, в кавычки, станет ясным ниже). Эта функция задается так
Относительно данной функции ограничимся доказательством утверждения, касающегося существования только первой производной.
Очевидно, что если Xo — рациональное число из отрезка [0,1], то f(x) разрывна в точке х0. Если хо — иррациональное число, то для любого є > О существует лишь конечное число дробей со знаменателями, не превосходящими N = [^] + 1, а именно, гь .. .,г*.
Пусть S = min IXo — г<|. Тогда для любого х с условием |х — х0| < S i<k
имеем
Л(а) = к\ск, к =I,...,п.
п
a=o
/<*) = {°-I П
если X — иррациональное, • если х=^, (m, n) = 1.
|/(х) - /(X0)I = |/(х)| < N-" < N-1 < ?
134- Далее нам потребуются следующие определение и теорема. Число а называется алгебраическим, если оно удовлетворяет алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Оно будет иррациональным, если любой многочлен первой степени с целыми коэффициентами не обращается в нуль.
Теорема (теорема Рота). Пусть ? — иррациональное алгебраическое число и р > 2 — произвольная постоянная. Тогда существует конечное число пар (р, q) целых чисел, q > 1, (р, ?) = 1 таких, что
Пусть хо — любое алгебраическое иррациональное число. По теореме Рота при р > 2 неравенство
I--5K-
Я яр
имеет лишь конечное число решений. Обозначим эти решения через gl"'''' • «f' Зададимся произвольным є > 0 и положим
N = max(gi,..., qrtp, [l/є] + 1), S = min
i<r
Xo
EL
Яі
Тогда, если |х — xo| < St то при х = m/n, (m, n) = 1, имеем, что
n>N,
m
n
Xo
>i> I/M- /(«.)! = ^r-
Tl
Следовательно,
/W - Л*о)
X-X0
п
— M
1 1
-„/>-« < _ < — - n~P n N
Если же X — иррациональное число, то
/(*) - fM
X-X0
= 0 < є.
Таким образом установлено, что при алгебраическом иррациональном числе хо функция /(х) имеет производную, равную нулю.
135- Назовем множество А всюду плотным на отрезке [а, 6], если для любой точки x Є [а, 6] в каждом интервале, содержащем х, находится хотя бы одна точка множества А.
Тогда указанная выше функция будет: 1) разрывна на всюду плотном множестве отрезка [0,1], 2) непрерывна на всюду плотном множестве в [0,1], 3) иметь производную на всюду плотном множестве в [0,1] (см. [34]).
В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос. Будет ли функция д(х) на отрезке [а, 6] дифференцируема п раз, если в каждой точке этого отрезка у функции д(х) существует метка дпд(х)? Пример функции у = sine1/* дает отрицательный ответ
на этбт вопрос.
В заключение приведем другое доказательство локальной формулы Тейлора, допускающее простое обобщение на случай функций от нескольких переменных.
