Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
101 Определение 4. Конечные пределы (если они существуют)
ш» м= lim Mzm и lim ^= цт Mzm
Дх-t-o+ Дх х-+а+ X — а Дх-»-О— Дх X — а
называются соответственно правой и левой производной функции /(х) в точке X = а.
В рассмотренном выше случае у = |xj односторонние производные в точке х = 0 существуют, при этом правая производная в этой точке равна +1, а левая —1. Связь понятий односторонних и обычной производных между собой выражается следующим очевидным утверждением.
Утверждение 2. Функция /(х) имеет производную в точке X = Q тогда и только тогда, когда существуют левая и правая производные и они равны между собой. Лекция 17
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Теоремаї. Пусть функция <p(t) дифференцируема в точке t = а, причем <р(а) = b, <р'(а) = а. Далее, пусть функция f(x) дифференцируема в точке х = Ь, причем f'(b) = ?. Тогда сложная функция
g(t) = /МО)
дифференцируема в точке t = а, причем
g'(t) = ? • а.
Доказательство. В силу дифференцируемости функций ifi(t) и f(x) имеем
Av?(<) = + QTi(At)Ai, оті (O) = 0; A f(x) = ?Ax + ?i (Ax)Ax, ?i (0) = 0.
Здесь аі(Аі) и /?і(Дх) определены в некоторых окрестностях точек At = 0 и Ax = 0 соответственно и стремятся к нулю при At 0 и при Ax —> 0.
Возьмем во втором равенстве величину Ax равной A<p(t). Тогда получим
А/(х) = ? A<p(t) + A<p{t)?,{A<p(t)) = = ?aAt + At{a?i(A<p{t)) + Otl (At)A (A^(O))-
Кроме того, ицеем, что А/(х) = Ag(t), т.е.
A^(f) = ?aAt + Ati(At)i
где
7(Д<) = (A^(O) + оп(Дад (А^(0).
Но Д<р(?) 0 как функция At при At -У 0, поскольку функция у?(<) дифференцируема в точке t = а. Отсюда по теореме о пределе сложной функции имеем, что /?і(Ау?(і)) и »i(A<) есть бесконечно малые при At —У 0. Следовательно, функция 7(Д<) — тоже бесконечно малая при At —У 0. А это означает, что ?aAt —~ дифференциал функции g{t) в точке t = а, т.е.
dg{t) = ?aAt = ?adt, = ?a.
dt
юз Теорема 1 доказана.
Замечание. Область определения функций с*і(Д*) и ?i(Ax)
А<р = CkAt + Oti(At)At, Af = ?&x + ?i(Ax)Ax-,
целиком содержит некоторые окрестности точек At = 0 и Ax = О, поскольку при определении дифференциала мы доопределили эти функции В нуле ПО непрерывности, ПОЛОЖИВ Of1(O) — ?i(0) = 0. Если этого не сделать, то наши рассуждения при доказательстве теоремы о дифференцируемости сложной функции будут ошибочны, так как с*і(Д<) может принимать значение, равное 0, даже тогда, когда At ф О для некоторых At, принадлежащих той окрестности точки 0, в которой была определена функция.
Заметим также, что мы говорим о производной функции f(x) в точке X = а только в том случае, когда эта точка — внутренняя точка области определения f(x). Если же говорится только о правой производной /'(а+), то область определения f(x) должна содержать промежуток (а,а + ?), a если о левой — то (—? + а,а).
Дифференциал df(x) функции f(x) в любой точке х = хо отрезка [а, 6] является линейной функцией сАх от аргумента Ах. Здесь для каждого значения производная f'(xо) = с имеет свое собственное значение. Таким образом, процедура взятия Дифференциала порождает отображение отрезка [а, Ь] в множество линейных функций. Это отображение не является числовой функцией, так как его образ состоит не из чисел, а из функций. За такими отображениями утвердилось название "оператор", в данном случае — дифференциальный оператор. А сама процедура отыскания дифференциала или производной функции в точке, как уже говорилось, называется операцией дифференцирования или просто дифференцированием. Напомним также, что функция, для которой существует производная в точке хо, называется дифференцируемой в этой точке.
Пример. Пусть /(х) = X2 при 0 < X < 1. Тогда имеем /'(х) = 2х при 0 < X < 1, /'(0+) = 0, /'(1-) = 2.
Докажем теперь теорему о производной обратной функции. Вообще говоря, правило дифференцирования обратной функции просто следует из теоремы о производной сложной функции, но мы докажем его при более слабых предположениях, не требуя заранее существования производной обратной функции.
104 Теорема2 (о производной обратной функции). Пусть функция f(x), определенная и непрерывная на отрезке [а, 6], имеет обратную функцию д{у), определенную на отрезке I, концами которого являются точки /(а) и f(b). Пусть X0 — внутренняя точка отрезка [а,6], а у0 — внутренняя TOVKa /, причем f(xо) = Уо и g{yo) = XQ. Пусть в точке X = Xq функция f(x) имеет производную, отличную от нуля, т.
е. Г (X0) Ф 0.
Тогда в точке уо функция д(у) имеет производную д'(уо), причем
9'(Уо) = 1 1
ГЫ Г(х)
х-д(у о)
Доказательство. Если известно, что д'(уо) существует, то воспользовавшись предыдущей теоремой, получаем:
*(/(*)) = *, Ш(х)))'х = 1,
но
ш(*т=я'ыгы-
Следовательно,
З'ы = TWY
Если существование производной заранее не предполагается, то доказательство проведем так. Заметим, что /(х) строго монотонна на [а, 6], следовательно, д(у) непрерывна на / и строго монотонна на нем. По определению производной
9>(уо)= МшЯ{у]-9Ы,
У->У о У — Уо
если этот предел существует.
