Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
И'(с) = 0, что и требовалось доказать.
117 Следствие (теорема Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема на интервале (а, 6). Тогда имеет место формула
f(a)-f(b)=f'(c)(a-b),
где с — некоторая внутренняя точка этого отрезка.
Доказательство. Утверждение следствия является частным случаем теоремы Коши при g(x) = х. Это следствие называется также формулой конечных приращений.
Замечания. 1. (О схеме доказательства леммы Дарбу). Эта
лемма утверждает, что если f'(xо) >0, то в точке хо функция /(х) возрастает. С другой стороны, ее возрастание означает, что приращение функции Д/(х) = f(x) - /(х0) и приращение аргумента Дат — x~xq имеют одинаковый знак и Д/(х) ф 0 при Ax ^ 0 в некоторой окрестности точки Xq. Доказательство этого факта, по существу, основано на свойстве функции, имеющей положительный предел, быть положительной на некотором окончании базы. В данном случае
гы = lim fMzIM > о,
!-»¦Го X — Xq
И ПОЭТОМУ В некоторой проколотой окрестности ТОЧКИ Xo мы имеем неравенство
щы>0_
X-Xo
Это и означает, что в данной проколотой окрестности точки Xo значения Д/(х) и Дх имеют одинаковый знак и Д/(х) ф 0 при Ax ф 0.
2(a) (По поводу теоремы Коши). Для справедливости утверждения теоремы, в частности, требуется, чтобы д'(х) ф 0 для любого х, принадлежащего отрезку [а,fr]. Отсюда следует, что д(а)—д(Ь) ф 0, т.е. в знаменателе отношения в формулировке теоремы стоит ненулевое число. Действительно, если мы предположим, что д(а) =z д(Ь), то по теореме Ролля существует число с такое, что д'(с) = 0, но по условию теоремы это не так.
(б) (Геометрическая интерпретация теоремы Коши). Пусть при a<t<b имеем
Г * = /м,
\ У = 9(t).
Тогда в некоторой точке с тангенс угла наклона касательной к этой кривой равен тангенсу угла наклона хорды:
'gV? д>(с) д(а)-д(Ь)
118 3. (По поводу теоремы Ролля). Эта теорема, по существу, утверждает, что при некоторых дополнительных условиях между двумя "нулями" функции всегда лежит "нуль" ее производной. Доказательство теоремы основано на том, что если точка глобального экстремума является внутренней, то она не может быть точкой возрастания или убывания, а отсюда уже следует, что производная в этой точке обращается в нуль.
Докажем несколько более общую теорему, а именно, теорему Ферма: Пусть, как и ранее, /(ж) непрерывна на [о, Ь].
Определение 1. 1) Внутренняя точка хо называется точкой несобственного локального максимума (или локального максимума в широком смысле), если существует проколотая 6-окрестность ТОЧКИ Хо, в которой
2) По аналогии определим, что такое точка несобственного локального минимума: /(ж) имеет несобственный локальный минимум (локальный минимум В широком смысле) В точке Xo, если существует проколотая 6-окрестность, в которой
3) Точки несобственного локального минимума и максимума называются точками несобственного локального экстремума.
Ясно, что экстремальные точки можно рассматривать и как несобственные экстремальные точки, но не наоборот.
ТеоремаЗ (теорема Ферма). Пусть внутренняя точка Xo отрезка [а, 6], на котором определена и непрерывна функция /(ж), является точкой экстремума (в широком смысле) этой функции и пусть 3 f'(xо). Тогда имеем /'(жо) = 0.
Доказательство. Точка Xo не может быть точкой возрастания (убывания), так как тогда в некоторой проколотой S-окрестности этой точки
Но тогда неравенства /'(хо) > 0 (/'(хо) < 0) Й1звозможны. Остается принять, что /;(жо) = 0, что и требовалось доказать.
Д/Ы = /(*) - /(«о) > 0.
Д/Ы = /(*) - /(хо) < 0.
Докажем еще одну теорему об обращении в нуль производной.
119 T е о р е м а 4. Пусть функция f(x) дифференцируема на (a,b), a < ai < &i < b и f'(a\) • f'{b\) < 0. Тогда существует точка ? € (аь &i) такая, что /'(?) = 0.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай f'(a\) > 0. Пусть ? — точка максимума на отрезке [аі,6і]. Тогда она является внутренней для этого отрезка, так как а і — точка возрастания, а &1 — точка убывания. Но тогда имеем /'(?) = 0. Второй случай, /'(ai) < 0, сводится к первому с помощью замены функции f(x) на g(x) = —/(ж). Теорема 4 доказана.
Следствие (теорема Дарбу). Пусть функция f(x) дифференцируема на (а, 6) и для некоторых аі, Є (а, b)
Ґ(аг) = а, f(b1) = ?.
Тогда для всякого числа лежащего между а и ?, найдется точка X0 € {ai,bi] такая, что f'(x0) =
Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = /(ж) —ж?. Имеем
/(O1) = C*-^ g'(h)=?-t,.
Но так как ? лежит между а и /? , то с* — ? и ? — ? имеют разные знаки. Тогда по теореме 4 имеем, что существует точка хо такая, что д'(х0) = 0. Отсюда следует, что
f'(x о)" ? = 0, т.е. f (хо)=?.
Доказательство закончено.
Теоремаб. Функция д(х),= f'(x) не может иметь разрывов первого рода.
Доказательство. Пусть
f'(x) —ка при x —У хо+, f(x) —У 6 при х —у хо — ¦
Докажем, что а = Ь. Предположим, что это не так. Тогда а ф Ь. Пусть
1 1
xn = X0 H---У Xo-f, vn=x0---у x0-,
П Tl
тогда
f(xn) —> а при ті —у оо, f'.(yn) —У b при п —У оо. Так как а ф Ь, то или а ф f'(xо), или b ф f'(x0).
