Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
В заключение приведем еще одну теорему, которая касается производных высших порядков от сложной функции.
Теорема 2(теорема Валле Пуссена). Пусть функции F(x) и и (ж) имеют п-е производные. Тогда для n-й производной функции G(x) = F(u(x)) имеет место следующая формула
a+2?+3 -у+ - =n
_ n! (u'Y (u"\? (UmY1
Pa+?+1+... - аШ ДуТJ [я) V^V "'¦
Поясним, что суммирование в правой части ведется по всем целым неотрицательным числам a, ?, j}..., удовлетворяющим равенству a + 2? + З7 + ¦ • • = п.
Д о к а з а тел ь с т в о. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, мы, очевидно, приходим к
113 равенству вида
п
A = I
где с*;(j?) — некоторые выражения, вид которых не зависит от конкретного задания функций у = F (u), u = f(x). Поэтому для определения точного выражения с* (я) через функцию и(х) мы можем использовать любые удобные для нас функции. В силу этого будем считать, что F(u) и и(х) — многочлены л-й степени, записанные в виде
Здесь мы полагаем, что переменные z и t определены равенствами z = u — tiо, Uo = u(x0), t = X — xq. В этом случае функция Сг(х) будет представлять собой многочлен степени п2, который может быть записан в виде
Г(*\ - п,\ 4. °'{Хо) і + 4. G(n)(4» + 4. G(ra3)(X°V G(x) _ G(x0) + ——t + • • ¦ 4- —-1 +•¦¦+ (n2), t ,
и, кроме того, в виде
F<">(u0) f и'(X0)i n! Vl!
п!
Раскрывая скобки в последнем равенстве с помощью полинома Ньютона (см. замечание к §1 гл. II) и сравнивая коэффициенты при tn в получившемся выражении с первым равенством, приходим к утверждению теоремы. Теорема 2 доказана.
114 § 5. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть Xo — внутренняя точка области определения f{x).
Определение» 1. Функция f(x) возрастает в точке ж = жо, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой:
а) /(ж) > f(xо) при X > хо,
б) f(x) < /(X0) при X < X0.
Ясно, что точка х = Xq является Точкой возрастания функции /(ж), если
Af(x)
Ax
> 0 при Ax ф О
В некоторой окрестности точки X = Xq.
2. Функция f(x) убывает в точке х = Xq, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой:
а) f(x) < f(xо) при X > X0;
б) f(x) > f(xо) при X < X0.
Точка X = хо является точкой убывания функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство
' < 0 при Ax ф 0.
Ax
3. Функция имеет в точке локальный максимум (локальный минимум), если в некоторой проколотой окрестности этой точки выполняется неравенство /(жо) > /(х) (соответственно f(xо) < /(ж)).
4. Функция /(ж) имеет локальный экстремум в точке Х = X0, если в этой точке она имеет или локальный максимум, или локальный минимум.
Теорема (достаточное условие возрастания или убывания функции в точке). 1. Если /'(жо) = с > 0, то тока ж = жо — точка возрастания функции /(ж).
2. Если f'(xo) = с < 0, то функция /(ж) убывает в точке х = жо-Доказательство. 1. Так как
ГЫ = Bm /(«)-/(«»)-,
х-?х0 X-Xq
то существует число S = 6(с/2) > 0 такое, что неравенство
/W - /м
— с
Xo
с <2
115 выполняется ДЛЯ всех точек проколотой ^-окрестности ТОЧКИ X = Xo-В этой окрестности имеем
о < і < - /(до) <
2 X-X0 2
Следовательно, Af имеет тот же знак, что и Ах, т.е. Xq — точка возрастания. Случай 2 сводится к случаю 1 заменой /(х) на —/(х). Эта теорема называется леммой Дарбу. Лекция 19
§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, КОШИ И ЛАГРАНЖА
Теоремаї (теорема Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [а, 6] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Пусть также /(а) =/(6). Тогда на интервале (а, 6) существует точка ? такая, что /'(?) = 0.
Доказательство. Функция /(х) непрерывна на [а, 6] . Следовательно, на этом отрезке найдётся точка х\, в которой f(x) имеет максимум, а также точка X2, являющаяся точкой минимума для /(х). Если Xi = х2, то /(х) постоянна на отрезке [а,Ь] и /'(х) = 0 всюду на [а, 6]. Если же х\ ^x2, то либо /(хд), либо /(х2) не равна /(а) = f(b). И та точка из них, для которой равенство не имеет места, будет внутренней точкой отрезка [а, 6] и одновременно точкой локального экстремума. Обозначив ее через имеем /'(?) — О, поскольку в противном случае была бы точкой возрастания или точкой убывания функции /(х). Теорема 1 доказана.
Теорема2 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны на отрезке [а, 6] и дифференцируемы внутри него. Пусть д'(х) Ф 0 при всех X Є [а, 6]. Тогда на интервале (а, 6) найдется точка с такая, что
/(а) - № = Г (с) g(a)-g(b) g>(c)'
Доказательство. Преобразуя эквивалентным образом требуемое равенство с учетом того, что д'{с) ф 0, имеем
(/(а) - f(b))g'(c) - (д(а) - g(b))f'(c) = 0.
Заметим, что слева в последнем равенстве стоит значение производной функции Н(х) в точке х = с, где
Н(х) = р(х)(/(а) - /(*>)) - f (х)Ь(а) - д(Ь)).
Таким образом, нам достаточно доказать существование точки с, в которой Н'(с) = 0. Но функция Н(х) дифференцируема во внутренних точках отрезка [а, Ь] и
H(a) = H(b) = -g(a)f(b)+f(a)g(b).
Поэтому по теореме Ролля существует точка с 6 такая, что
