Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку Jfc П А не допускает конечного покрытия, в каждом отрезке Jfc есть точки из А. Это значит, что точка Xq Є At так как А замкнуто. Всякая точка множества А покрыта некоторым множеством из системы множеств {В}, т.е. существует множество В такое, что го Є В. Далее, существует номер к такой, что Jk С В, поскольку длина Jfc —> 0, а В открыто. Тем самым В покрывает Jfc и Af\ Jk допускает конечное покрытие. Противоречие. Лемма доказана.
95 Теорема !(обобщение теоремы Гейне - Кантора). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Возьмем любое є > 0 и зафиксируем его. Каждую точку Xq Є К накроем ^'-окрестностью радиуса S' = ®о),
где <ї(|,?о) = S определяется из условия, что для любого X Є К с условием |ж — жо| < S имеем 1 f(x) — /(а?о)| < є/2. Каждая такая ^'-окрестность — это открытое множество. По лемме Бореля выберем конечное подпокрытие для К. Пусть оно состоит из интервалов Ji,..., Jk с длинами соответственно Sk и центрами Gt1,..., а*.
Положим = шіп(<Уі,... ,Sk)- Если теперь хі и X2 таковы, что \х2 — xi\ < S(e), тогда при некотором а = а3 имеем, что точка х\ принадлежит а)-окрестности точки а, т.е. |xi — а| < Но
?(є) < поэтому
\х2 - а\ = |(ar2 + (*1 - а)| < \х2 - xi\ + Jx1 - а| < Отсюда If(x2) - f(a)\ < t/2. Но так как |/(«i) - /(а)| < є/2, то
IZ(X1) - Z(^2)I = KZ(Si) - /(а)) + (f(a) - Z(xi))| < < IZ(X1)-Zfa)! + IZ(S2) ~/(а)\<є.
Это и означает, что f(x) равномерно непрерывна на К. Доказательство закончено.
Примеры. 1. Функция у = у/х равномерно непрерывна при х > 1. Действительно, для любых XljX2 > 1 имеем неравенство
Отсюда для любого є > 0 получим, что при S= 2є
V xi, X2 Є (1, +оо) : |xi-x2| Crf => < є.
2. Функция у = X2 не является равномерно непрерывной на Ж, поскольку при є = 1 справедливо неравенство для разности
1 1 2 1 у(п + -) - у(п) = (п + ~) — (п)2 = 2-і—-> 1 = є n n Tl2
при всех натуральных п, а это означает, что не существует числа rf(l) > 0 такого, что для любых двух точек, находящихся на расстоянии меньшем ?(1), модуль разности значений функции х2 в этих точках был меньше 1.
Ради полноты приведем позитивную формулировку свойства функции Z(x) не быть равномерно непрерывной на множестве А.
¦
96 Определение 5. Функция f(x) не является равномерно непрерывной на множестве А, если можно указать такое є > О, что при всяком 8 > 0 нгійдутся числа a і = ^i(J) Є А и а2 = a2(J) Є Л с условием Ja1 — а2| < S, для которых
\f(*l)-fM\ >є
Замечания. 1, В данном определении вместо всех 6 > 0 достаточно ограничиться только числами S вида 8 = Sn = 1/п.
2. Непрерывность функции в некоторой точке Xq предполагает, что функция f(x) определена в некоторой J-окрестности этой точки. Доказанная выше теорема І справедлива в несколько более общей ситуации. Приведём соответствующее определение.
Определение 6. Функция /(х), определенная на множестве А, называется непрерывной в точке Xo относительно данного множества А, если для любого є > 0 найдётся 8 = 8 (є) > 0, та кое, что при всех X Є А с условием іX — Хо| < 8 выполнено неравенство If(X) -/(X0)I < Є.
С учетом сделанных ранее замечаний, данное определение непрерывности можно записать через предел функции по некоторой базе.
Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, остаются полностью справедливыми и в том случае, когда условие непрерывности функции в точке заменяется на сформулированное выше определение непрерывности относительно множества А, если только множество A = K является компактом.
4 Лекции но математическому анализу Глава V
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Лекция 16
§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Свойство функции /(ж) быть непрерывной в точке X ~ а равносильно тому, что разность а(х) = /(х) — /(а) является бесконечно малой при ж —* а.
Другими словами, это означает, что
/(ж) = /(а) + а(ж),
где а(х) — бесконечно малая функция при ж —» а.
Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке х — а имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е. формулу)
а(х) = /(ж)-/(а).
Это выражение называется приращением функции /(х) в точке X ~ а. Оно обозначается так: а(ж) = Д/(х). Данное обозначение используется даже и в том случае, когда /(х) не является непрерывной функцией в точке X = а.
Итак, если Af(х) —0 при х —)¦ а, то функция /(х) будет непрерывной в точке X = а, и наоборот. Для простейшей функции /(х) = х ее приращение а (ж) = х — а называется приращением аргумента, поскольку при /(ж) = X значение функции /(х) равно значению аргумента. Это выражение имеет специальное обозначение: а(ж) = Ах. Имеем, что Ax 0 при X —у а.
Аргументах можно выразить через его приращение Ах. Действительно, x = a-f(x-a)-a + Ах. Следовательно, при фиксированном а приращение Д/(х) можно рассматривать как некоторую функцию от Дж, т.е.
Of(S) = Д/(ж) = /(ж) - f(a) = f(a + Дж) - f(a) = ?(Ax).
Когда хотят подчеркнуть, что значение Д/(ж) равно А при ж = а и Аж = 6, то пишут
Abf (а) = А или Д/(ж) | х=а =A.
