Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
В силу непрерывности f(x) B точке X = Xo и теоремы о пределе обратной функции имеем, что д(у) —> д(уо) = Xo при у —f у0. Определим на I функцию F(x), полагая F(x0) = 1//'(х0) и
1-І/ ч X-Xo .
F{x) = /(*) - /(хо)
Тогда F(x) непрерывна в точке х = х0) поскольку
/р _ 5/Q 1. 1
F(x0) = Дт _ = ^hm /(r)_/(go) = у7щ-
X-Xn
105 Сделаем замену переменной вида х = д(у):
9ІУ) - 9ІУо) 9ІУ) - з(уо)
ГШ) =
f(g{y))-f(9(yo)) у — Уо
Применяя теорему о пределе сложной функции, получаем, что существует предел
У~*Уо
Но, с другой стороны,
Iim F(g(y)) = F(X0) = ~ '—> Vo J \х)
х~д(уо)
Iim РШ)= Иш^Ь°Ш = дЬо).
У~>У О У~+Уа У-Уо
Тем самым доказательство теоремы 2 закончено.
ТеоремаЗ (об инвариантности формы первого дифференциала). Если вместо дифференциала независимой переменной х в формулу для дифференциала df(x) функции f(x) подставить дифференциал некоторой функции X — <p(t), то полученное выражение окажется дифференциалом сложной функции g(t) = f(ip(t)).
Другими словами, пусть df = c\dx — дифференциал функции f(x) в точке X = a, d<p = c2dt — дифференциал <p(t) в точке <"= а, причем ??(<*) = а. Тогда функция с\d<p = c\c2dt — дифференциал функции g(t) = f(<p(t)) в точке t = а.
Доказательство. Эта теорема является прямым следствием теоремы о дифференцируемости сложной функции, так как согласно последней
dg(t) = g'(t)dt = ClCidt = с^<р(і),
что и требовалось доказать.
Смысл этой очень простой и, казалось бы, "пустой" теоремы станет понятным позже, когда мы увидим, что дифференциалы высших порядков уже не обладают свойством инвариантности.
Пример. Решение уравнения Кеплера х = х(у): х — є sin х = у, 0 < є < 1 — дифференцируемая функция в силу теоремы о производной обратной функции, причем
Xt (у) = --!-тт.
1 — Є COS X (у)
106 § 3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть /(ж), #(ж) дифференцируемы, с Є ж. Тогда имеем:
1) (Cf(X)Y =Cf(X);
2) Если f(x) = const, то f'(x) = 0;
3) (f(x)+9(x)y = f'(x)+g'(x).
Эти утверждения следуют из определения производной. Докажем,
например, утверждение 3. Имеем: Д(/ + д) = Af + Ag. Откуда
*
A(f+g) Af Ag rt ,
4) (f(x)g(x)Y = f(x)g(x)+f(x)g'(x). Доказательство. Имеем
A(fg) _ f(x + Ах)д(х + Ах) - f(x)g(x) _
Ax Ax
- /(г + ^)д(х + Дат) - f(x)g(x + Дж) + f(x)g(x + Дж) - f(x)g(x) _
~ Ax ~
- пы л. + Я*) , ^^9(х + Ах)~д(х) = д(х + Ах)~-—--+ /(Ж)-----^
g(r)f'(x) + f(x)g'(x) при Дж 0,
так как
д(х + Дж) д(ж), ^ /'(ж), ^ д'(х) при Дж 0.
Ag Ax
5> ш
9'(х)
^д( ж)/ 32(*)' Доказательство. Имеем
A(1Zff) = g(«+Ar) - ф) = д(х)-д(х + Ах) дж ^ 0
Дж Дж Дж -^г(ж)(7(ж + Дж) д? 5
поскольку
Atf 1 1 л „
---> (7 , —:--—г —У —При Дж —>• 0-
Дж * д( ж + Дж) <?(ж)
Следствия:
п
1- (91 9пу = E • -9к ¦ - -gn-
к=1
107 2
Л' f's-s'f
¦() =
9f 92
Производные элементарных функций
Xf=U
(хпу — пх"-1;
ех+Дз7 __ ех еДх _ ^
(е*)' = Iim ---= Iim —--= ех;
Дх-+0 Дх Дх—^o Дх
.... ,. sin(x-f Дх) -sinX sin ^ / д \
(sin х) = Iim —1--Tj--= Iim . г -COS х + ^ = cos х;
V ' Да:-+0 Дх Дх-+0 Дх Vj/
T
(cos х)' = — sin х, так как cos х = sin ^ — х^;
(lnl)' = 7Ш = = = /(l) = lni' s(x> = е* ~
обратная функция;
у = ха, а / О — степенная функция,
(ха)' = (ea,nr)' = (аInx)' • еа1пг = аха_1;
( sin X \ ' COS X • COS X + sin X • sin X 1 о
tgx' =- =---_ — — = tg2 X H-1;
V COS X / COS X COSj X
(Ctgx)' = (tg (f - ,))' = - «)' = -^i
/ • v 1 1 1
(arcsinx) = ---:-- =: - ., и-,:::-=—:;;,";,L=,— = —===== J
cos(arcsmx) L - 2/ „ ¦ > y/l - x2 4 7 V sm (arcsin x) v
(arccos x)' = (X — arcsin x) =--=L=;
V 1 \2 J
1 1
(arctg x) =
tg2(arctg x) + 1 1 + X2'
(«cctg«)' = -^:
Из теоремы 2 о дифференцировании сложной функции и из правил дифференцирования следует:
(Oar)' = (е*1™)' = Carlna(Xlna)' = ах Ina;
(Iog0 X)'= (??)' =J--I;
Vma/ Ina х
(In /(.))' =
(Uv)' = (eulnu)' = е*1пи(г;1пи)' = и" (v'lnu + v—).
Замечание. Если Л(х) = f(g(x))} то символы /'Х(д(х)) и fg(g(x)) определяются равенствами /^(<?(аг)) = Л'(х), /^(^(х)) = fi[g{x)), где Лекция 18
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
Пусть f(x) является дифференцируемой в каждой точке интервала (а, Ь). Тогда каждой точке х E (а, Ь) можно поставить в соответствие число — производную f'(x) в этой точке. Полученная функция называется функцией, производной от данной, и обозначается также f'(x). Может случиться, что она сама тоже имеет производную. Тогда эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается так:
гм = (л*))'-
Подобным образом определяются третья, четвертая и все последующие производные:
Г (X) = (f" (X))', /<«>(*) = (S{n~l)(x))'.
Пример, (х3)" = ((*3}')' = (3X2Y - ex.
Теорема !(формула Лейбница). Пусть и, v имеют п-е производные. Тогда справедлив# формула
(Н(п)- =«(П)*> + ^tn-1V + П(П " 1^n-aV + ... + «и,<"> =
= ^ (»)„«»)„(-»>,
m=0 4 7
где И«0) == Uf = V.
Доказательство. (По индукции). При n = 1 утверждение теоремы справедливо. Предположим, что оно верно при n = $ > 1. Докажем его при n = 4-f 1. Имеем
