Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Єї Є2 Єз
Іі І2 Із
X У Z
Jiy- ~ 32 х
= Pei + Qe2 + Re3.
дх
Следовательно,
. /Эх dQ . ,3у dR ,. . ;-3z
= (JBP-JiZ)JJ1-^= (J1Z-J3X)-,- = (J2X - Jiy)-.
Гг дР BQ 3R л di vH= —+ ^ + —= 0, ох ду Oz
т.е. поле H является соленоидальным в области E3 \ V.
Покажем теперь, что при P ^ V векторным потенциалом поля H является векторное поле
'-JJJ
JdV
т.е. поле H представляется в виде H = rot J.
В силу гладкости подынтегральной функции можно поменять порядок следования оператора rot и тройного интеграла. Тогда достаточно доказать, что
' Л = Ei.
rot
-3 '
Действительно, имеем
rot - = [V,-] =
Єї е2 ез
д_ д
дх ду dz
iL ІЗ. ІА
г г г
643 /.0(i) .0(1)4 ..(.Щ)
= e,V3W~32~er) + esVjl J +
= -Pei - Qe2 - Re з,
где функции PyQ и R определены выше.
На этом мы завершаем рассмотрение вопросов, связанных с векторным анализом. Глава XXI ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА
Лекция 16
§ 1. ПОНЯТИЕ ОРИЕНТИРОВАННОЙ МНОГОМЕРНОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
Общая формула Стокса является естественным многомерным обобщением теоремы Ньютона - Лейбница о выражении определенного интеграла через первообразную функцию. Впервые эта формула была опубликована А.Пуанкаре в 1899 году в знаменитом мемуаре "Новые методы небесной механики". Чтобы подчеркнуть возможность использования найденной формулы при интегрировании по поверхности ,любой размерности, он назвал ее обобщением теоремы Стокса, имея в виду формулу Стокса, связывающую поток векторного поля через поверхность и его циркуляцию вдоль границы поверхности.
Современное изложение доказательства различных вариантов общей формулы Стокса, как правило, опирается на применение достаточно развитой теории внешних дифференциальных форм и интегралов от них по поверхностям. Эта причина, по - видимому, является определенным препятствием для полного изложения ее доказательства в курсах анализа.
Здесь мы предлагаем новый вариант доказательства общей формулы Стокса, использующий, по существу, те же средства, что и в классическом трехмерном случае. Сначала с помощью параметризации поверхности мы определяем понятие интеграла от дифференциальной формы. При этом мы показываем, что его значение с точностью до знака не зависит от выбора параметризации. Далее обосновывается связь между выбором параметризации, определяющей ориентацию поверхности, и знаком интеграла. Следующий шаг — введение правила согласования ориентации поверхности и ориентации ее границы, что одновременно используется для конструирования поверхности путем "склейки" образов выпуклых множеств по общим частям их границ, имеющих противоположную ориентацию. Заметим, что использование выпуклости прообразов этих множеств вносит некоторые упрощения в доказательство основной теоремы без существенного ограничения общности.
Отметим еще раз важность проблемы согласования ориентации поверхности и ориентации ее границы, которая возникает неоднократно в процессе изложения. Уже на примере самой формулы Ньютона -
645 Лейбница эта особенность выявляется как зависимость знака интеграла от направления интегрирования, т.е. изменение знака интеграла при перестановке пределов интегрирования. Наиболее просто вопрос о согласовании ориентаций поверхности и ее границы решается в случае поверхностей размерности 1 (кривые) и коразмерности 0. Данное обстоятельство лежит в основе нашего индуктивного определения ориентации поверхности и ее границы. При этом согласование ориентаций проводится с использованием выпуклости прообраза поверхности.
В заключение следует сказать, что основная трудность при выводе общей формулы Стокса как раз и состоит в построении необходимой системы понятий, в то время как само доказательство очень простое.
Пусть к к п — натуральные числа, І < к < п. Мы определим кусочно-гладкую ориентированную поверхность размерности к в пространстве п измерений индукцией по ее размерности 'к.
При к = 1 эта поверхность представляет собой кусочно-гладкую кривую без кратных точек, на которой задано направление обхода, т.е. начало следующего гладкого куска кривой совпадает с концом предыдущего. При этом под гладким куском кривой мы понимаем образ направленного отрезка числовой оси при гладком взаимно однозначном отображении, имеющем ранг, равный единице.
Пусть к > 2. Тогда поверхность (точнее, гладкий кусок поверхности) размерности к определяется как образ В выпуклого ^-мерного множества А в ^-мерном пространстве, имеющего кусочно-гладкую границу дА, при гладком взаимно однозначном невырожденном (то есть ранга к) отображении <р, то есть B = ф(А).
Заметим, что в этом случае dB — граница поверхности В -— является поверхностью размерности к — 1 > 1 (dB = ф(дА)). Прообраз А отображения ф называется картой гладкого куска поверхности В. Само отображение ф назовем параметризацией данного куска поверхности.
Пусть заданы две параметризации ф и ф поверхности В. Будем говорить, что они определяют одинаковую ориентацию поверхности В, если замена параметров является диффеоморфизмом А с положительным якобианом J^. Если же якобиан J^ отрицателен, то параметризации ф и ф задают противоположные ориентации.
