Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Примеры. 1. Пусть А: = 1. Тогда форму первого порядка можно представить в виде
п
u(x,dx) = Fs (х) dxs.
»=1
2. Пусть к = п. Тогда сумма в определении дифференциальной формы и состоит из одного слагаемого, и форма w имеет вид
w(x, dx) = F(x) dx 1 A-A dxn•
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Определение понятия замены переменных в дифференциальной форме нужно в основном для того, чтобы ввести понятие поверхностного интеграла по ориентированной кусочно-гладкой поверхности, размерность которой меньше размерности основного пространства. Но, разумеется, оно имеет место и в случае, когда эти размерности совпадают. По существу, данное определение достигается заменой х на (р(ї) и dxi на dipi(i).
Определение. Пусть ш — дифференциальная к-форма и Cp — гладкое отображение, (р : Mn Mn. Тогда имеет место следующее правило замены переменных х = <p(t) :
w(x,dx) =Wi (t,di)t
649где
W1 =CJ1(Mi) = " S ^,,...,тЛ^Й) ^m1 (*) Л • • ¦ Л d(pmk (і),
1<ті< <тк<п
п
ФЛО = 2^ dir-
Г=1
Приведем форму w1 к каноническому виду
W1 (F1 Л")= Yl ,..,rk{i)dtri A-- Adtrk.
1<Гі<-<Г fc<n
Для этого сначала преобразуем к каноническому виду элементарную форму W0, где
Wo = d<pmi (t) А ¦ ¦ • Л d<Pmk(t)-
Имеем
/ Vrfc=I
п
",=1 Tfc=I
Гі=1 гк:
- ( -Z4ni З^Л _ _ _ =
= e-e (-ей
1<Г!< <Гі<П V <т
J -fi ' > ' > ««Tfc
(гі) ^ч^г*)^
= e -e A -A*..
1<Г1< <rfc<n 4 !
Здесь равно 4-Г или —1 в зависимости от четности подстановки ст, составленной из чисел cr(ri),..., er (г к). Подставляя последнее выражение б равенство, определяющее форму w1, найдем
........ e - e ..........т1-
^ D{tr t )
Kmj<- -<mfc<.n к'
9
Форму w1 обычно обозначают символом w1 — и называют
формой, индуцированной отображением tp, или просто индуцированной формой.
Примеры. 1. Пусть А* — 1. Тогда
d<pt
п п
^uj = dtr> = Л jMVvvv т ¦
r=l m=l Т
2. При к — тг имеем
V« = .....tidti Л • ¦ •л
D\t\ , ¦ • • , In)Лекция 13
§ 5. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
Сначала рассмотрим интеграл от дифференциальной n-формы по n-мерной ориентированной поверхности В в пространстве п измерений. Канонический вид формы и> в этом случае можно записать, так:
w — F(x) dx і Л • • ¦ A dxn.
Определим интеграл от ш по поверхности В (ориентированной естественным образом) как n-кратный интеграл Римана, т.е.
j"4f{i)
dxі ...dxn. в в
Поскольку после замены переменных х = <p(f), связанной с параметризацией поверхности В = <р(А), отвечающей ее ориентации, мы приходим к дифференциальной it-форме <р*ш, определенной на Ar-мерном множестве А в пространстве к измерений и имеющей канонический вид
= <р*и> — Ф(іі, ...,tk) dt і Л • ¦ • Л dtk,
по аналогии со случаем к = п мы имеем правило, выражающее k-кратный поверхностный интеграл от Ar-формы ші через обычный fc-кратный интеграл Римана.
Это обстоятельство позволяет нам дать следующее определение поверхностного интеграла от дифференциальной формы.
Определение. Поверхностным интегралом I по кусочно-гладкой ориентированной поверхности В от гладкой дифференциальной k-формы ш (т.е. формы с гладкими коэффицентами) называется выражение
I - J uj- J
В А
где множество А есть k-мерное выпуклое компактное измеримое по Жордану множество в пространстве к измерений, B = ф(А).
При этом интеграл по множеству А, как и в случае k = п, выражается через обычный к-кратный интеграл Римана с помощью формальной замены выражения dt\ Л - ¦ -Adtk на выражение dt\ .. .dtk.
651Заметим еще, что если параметризация ф поверхности В определяет на В ориентацию, противоположную заданной, то согласно данному выше определению
I = Ju = -J (р*ш.
В А
Пример. Пусть B = L- окружность с центром в нуле радиуса 1 на плоскости хОу, пробегаемая против часовой стрелки. Зададим эту ориентацию с помощью отображения ф : [0, 2тг] —> В равенствами
X = cos t, у = sin 0 < t < 2я\
Рассмотрим дифференциальную 1 - форму
xdy— ydx
и =-.
X2 + у2
Тогда имеем = dt. Отсюда следует, что
2тг
J Uj = J <p*io = J dt = 2тг.
Для проверки корректности определения интеграла Ju надо дока-
в
зать, что его величина не зависит от параметризации у?, сохраняющей ориентацию. Напомним, что любые две такие параметризации ф и ф связаны между собой соотношением ф = ф - А, где А : А А\ — некоторый диффеоморфизм с положительным якобианом.
Теорема 1. Пусть параметризации ф : А —> В и ф \ А\ В задают одну и ту же ориентацию поверхности В. Тогда имеем
J <р*ш = J ф*и.
Доказательство. Дифференциальная форма ф*и> является ^-формой в пространстве Rfc той же размерности к, поэтому канонический вид ее таков:
ф*ш = Ф{{) dtI A-- Adtk.
Воспользуемся теперь формулой замены переменных:
ф{й) = {ф-\)(й), ї=Х{й).
652Получим
= (<р ¦ X У и; = Ф(Л(й)) с/Ai (й) Л • ¦ • Л dXk (й) = = Ф(А(й)) А • ¦-A dt«*.
Так как ^jj > 0 {из условия сохранения ориентации), то по формуле замены переменных в кратном интеграле имеем
AA А
А
А
J Ф(ї) dti А • • • A dtk =