Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Архипов Г.И. -> "Лекции по математическому анализу" -> 187

Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.

Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу — M.: Высш. шк., 1999. — 695 c.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematanalizu1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 201 >> Следующая


Примеры. 1. Пусть А: = 1. Тогда форму первого порядка можно представить в виде

п

u(x,dx) = Fs (х) dxs.

»=1

2. Пусть к = п. Тогда сумма в определении дифференциальной формы и состоит из одного слагаемого, и форма w имеет вид

w(x, dx) = F(x) dx 1 A-A dxn•

§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Определение понятия замены переменных в дифференциальной форме нужно в основном для того, чтобы ввести понятие поверхностного интеграла по ориентированной кусочно-гладкой поверхности, размерность которой меньше размерности основного пространства. Но, разумеется, оно имеет место и в случае, когда эти размерности совпадают. По существу, данное определение достигается заменой х на (р(ї) и dxi на dipi(i).

Определение. Пусть ш — дифференциальная к-форма и Cp — гладкое отображение, (р : Mn Mn. Тогда имеет место следующее правило замены переменных х = <p(t) :

w(x,dx) =Wi (t,di)t

649 где

W1 =CJ1(Mi) = " S ^,,...,тЛ^Й) ^m1 (*) Л • • ¦ Л d(pmk (і),

1<ті< <тк<п

п

ФЛО = 2^ dir-

Г=1

Приведем форму w1 к каноническому виду

W1 (F1 Л")= Yl ,..,rk{i)dtri A-- Adtrk.

1<Гі<-<Г fc<n

Для этого сначала преобразуем к каноническому виду элементарную форму W0, где

Wo = d<pmi (t) А ¦ ¦ • Л d<Pmk(t)-

Имеем

/ Vrfc=I

п

",=1 Tfc=I

Гі=1 гк:

- ( -Z4ni З^Л _ _ _ =

= e-e (-ей

1<Г!< <Гі<П V <т

J -fi ' > ' > ««Tfc

(гі) ^ч^г*)^

= e -e A -A*..

1<Г1< <rfc<n 4 !

Здесь равно 4-Г или —1 в зависимости от четности подстановки ст, составленной из чисел cr(ri),..., er (г к). Подставляя последнее выражение б равенство, определяющее форму w1, найдем

........ e - e ..........т1-

^ D{tr t )

Kmj<- -<mfc<.n к'

9

Форму w1 обычно обозначают символом w1 — и называют

формой, индуцированной отображением tp, или просто индуцированной формой.

Примеры. 1. Пусть А* — 1. Тогда

d<pt

п п

^uj = dtr> = Л jMVvvv т ¦

r=l m=l Т

2. При к — тг имеем

V« = .....tidti Л • ¦ •л

D\t\ , ¦ • • , In) Лекция 13

§ 5. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ

Сначала рассмотрим интеграл от дифференциальной n-формы по n-мерной ориентированной поверхности В в пространстве п измерений. Канонический вид формы и> в этом случае можно записать, так:

w — F(x) dx і Л • • ¦ A dxn.

Определим интеграл от ш по поверхности В (ориентированной естественным образом) как n-кратный интеграл Римана, т.е.

j"4f{i)

dxі ...dxn. в в

Поскольку после замены переменных х = <p(f), связанной с параметризацией поверхности В = <р(А), отвечающей ее ориентации, мы приходим к дифференциальной it-форме <р*ш, определенной на Ar-мерном множестве А в пространстве к измерений и имеющей канонический вид

= <р*и> — Ф(іі, ...,tk) dt і Л • ¦ • Л dtk,

по аналогии со случаем к = п мы имеем правило, выражающее k-кратный поверхностный интеграл от Ar-формы ші через обычный fc-кратный интеграл Римана.

Это обстоятельство позволяет нам дать следующее определение поверхностного интеграла от дифференциальной формы.

Определение. Поверхностным интегралом I по кусочно-гладкой ориентированной поверхности В от гладкой дифференциальной k-формы ш (т.е. формы с гладкими коэффицентами) называется выражение

I - J uj- J

В А

где множество А есть k-мерное выпуклое компактное измеримое по Жордану множество в пространстве к измерений, B = ф(А).

При этом интеграл по множеству А, как и в случае k = п, выражается через обычный к-кратный интеграл Римана с помощью формальной замены выражения dt\ Л - ¦ -Adtk на выражение dt\ .. .dtk.

651 Заметим еще, что если параметризация ф поверхности В определяет на В ориентацию, противоположную заданной, то согласно данному выше определению

I = Ju = -J (р*ш.

В А

Пример. Пусть B = L- окружность с центром в нуле радиуса 1 на плоскости хОу, пробегаемая против часовой стрелки. Зададим эту ориентацию с помощью отображения ф : [0, 2тг] —> В равенствами

X = cos t, у = sin 0 < t < 2я\

Рассмотрим дифференциальную 1 - форму

xdy— ydx

и =-.

X2 + у2

Тогда имеем = dt. Отсюда следует, что

2тг

J Uj = J <p*io = J dt = 2тг.

Для проверки корректности определения интеграла Ju надо дока-

в

зать, что его величина не зависит от параметризации у?, сохраняющей ориентацию. Напомним, что любые две такие параметризации ф и ф связаны между собой соотношением ф = ф - А, где А : А А\ — некоторый диффеоморфизм с положительным якобианом.

Теорема 1. Пусть параметризации ф : А —> В и ф \ А\ В задают одну и ту же ориентацию поверхности В. Тогда имеем

J <р*ш = J ф*и.

Доказательство. Дифференциальная форма ф*и> является ^-формой в пространстве Rfc той же размерности к, поэтому канонический вид ее таков:

ф*ш = Ф{{) dtI A-- Adtk.

Воспользуемся теперь формулой замены переменных:

ф{й) = {ф-\)(й), ї=Х{й).

652 Получим

= (<р ¦ X У и; = Ф(Л(й)) с/Ai (й) Л • ¦ • Л dXk (й) = = Ф(А(й)) А • ¦-A dt«*.

Так как ^jj > 0 {из условия сохранения ориентации), то по формуле замены переменных в кратном интеграле имеем

AA А

А

А

J Ф(ї) dti А • • • A dtk =
Предыдущая << 1 .. 181 182 183 184 185 186 < 187 > 188 189 190 191 192 193 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed