Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
А = {(М*) : t Є DJ1(F) <tk< /а(<")},
где /і(<і,..., tk-i), h(t\,..., <fc_i) — некоторые функции, определенные на множестве D.
Границу множества D можно разбить на три множества:
Пі = {(<",<*) :ЇЄ D1 =
П2 = {(<,<*) : t Є D1 tk = f2(tu . ..,<*_!)}, Пз = {(t,tk) viedD, h(t<tk < /2Й}.
Ограничимся здесь случаем, когда поверхность Пз является кусочно-гладкой ориентированной поверхностью. Она также является цилиндрической, а поверхности Пі и Пг можно представлять себе как "нижнюю" и "верхнюю" крышки этой цилиндрической поверхности.
Следует отметить, что множество Пз может быть и пустым, что, например, имеет место в случае, когда А есть /:-мерныЙ шар вида
+----Mfc < 1. Тогда, очевидно, поверхности Пі и Пг являются
полусферами вида + • • "Mfc = 1 с условием tk < 0 и tk > 0 соответственно.
657 Покажем, что интеграл по поверхности Пз равен нулю. Действительно, поскольку Пз есть к — 1-мерная поверхность в пространстве к измерений, то ее можно параметризовать
<1 = • - ,tk-1 = ifc-l(«), Й = («1,. . .,Uk-1) Є ТГз, f(7T3) = Пз.
Заметим, что f(u) является диффеоморфизмом.
Предположим, что якобиан отображения і : 7Гз —Пз в точке й = щ не *равен нулю, т.е.
т(- ч D(t і,.. .,tk-i) , Л
J(U0) = -Г Ф 0.
D(ui,...,uk-i)
Тогда в силу непрерывности функции J(u) в некоторой окрестности точки й = йо она отлична от нуля. Далее, согласно теореме об обратном отображении точка ?(uo) будет внутренней точкой множества D (проекции множества А на гиперплоскость tk =0). Но точка t(uo) — граничная точка множества D, что невозможно. Следовательно, в любой точке u Є тгз имеем равенство
= OCi-•¦«»-.) = о.
D(ui, ... ,ujt-i)
Используя это, после замены переменных t = t(u) в поверхностном интеграле получим
J Ф(м*) dti А • • • A dtk„ 1 = J Ф{t{й),tk)J{й) dui А • ¦ - A dtifc_i = 0.
Пз *з
Рассмотрим теперь интегралы по поверхностям Пі и П2. В силу определения ориентации поверхности (см. пример §12) имеем
J Ф(t,tk)dtl Л-..Aiftfc-i = (-1)*-1 J *(t,tk,f2(fydt1...dtk-lf
П3 D
J Ф (Mfc) dt і A--A dtk-i = (-1)* J Ф(Мл,/і(*)) dti. ..dtk-1.
Пі D
Следовательно, справедлива цепочка равенств
J Ф(Mfc) dti А • • • A dtk-i =J + J =
дА Щ П2
658 - (-1)*-1 J(Ф(І, Mt)) - Ф(<~ Mi))) Citl . . .rfifc_! - ,
D-
(-.)"/ /
Л (0 \
<9Ф
Лі
Mk
D \h{t) )
dt і .. .dtk.
• і —
= (-1)*-1 У Ai ... Afc = (-1)*-1 J ^dt1 A - Adtk =
-/
дФ{ї) дік
dtk Adti А • • • A dtk-i-
Теорема доказана.
Замечание. Ограничение на множество ГІз, наложенное при доказательстве последней теоремы, на самом деле не являются существенными. Дело в том, что любое выпуклое тело D в пространстве Ж" можно рассматривать как бесконечно-гладкий образ другого выпуклого тела Do С Kn, граница с? D0 которого не содержит отрезков прямой, а для такого тела множество Пз пусто.
Легко построить какое-либо бесконечно-гладкое в обе стороны отображение (р такое, что V3(Do) = Db ф(О) = Do, причем <р(ф(х)) = х для всех X 6 В качестве соответствующего примера рассмотрим отображение Ф(х), задаваемое равенством
ф{х) = X0 + [х - X0) (l + e-51*-*°l3) .
Здесь X0 — некоторая фиксированная внутренняя точка тела D С К", а 8 > 0 — вещественная постоянная. Тогда тело Do получается как образ D при отображении ф. Ясно, что. обратное отображение ip всегда существует, причем как <р, так и ф являются бесконечно-гладкими.
С другой стороны, с помощью стандартных вычислений можно показать, что при достаточно малом (в зависимости от отношения минимального и максимального расстояний от точки Xq до границы OD тела D) значении параметра S тело Do. будет выпуклым и его граница OD0 не будет содержать отрезков прямой. Учитывая достаточную громоздкость этих выкладок и большой произвол в выборе отображения ф, проводить их здесь мы не будем, а ограничимся только сделанным замечанием. Лекция 13
ДОПОЛНЕНИЕ.
§ 1. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЛЕММА ОБ ОЦЕНКЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ
Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввел в математику Г.Вейль (H.Weyl.f/6er die Gleichverteilung von Zahlen mod. Ems. Math. Ann.,1916, Bd.77, S.313 -352). Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, теории функций, классической механике. Здесь мы докажем критерий равномерного распределения значений числовой последовательности на отрезке, принадлежащий Г.Вейлю.
Пусть Xi,..., хп,.. . — последовательность вещественных чисел. Построим последовательность дробных частей {xi},..., {xn},.... Для простоты изложения в дальнейшем будем считать, что все члены последовательности {хп} находятся, на полуинтервале [О, 1). Пусть F(N) = F(N,a,?) обозначает количество членов прследовательности {хп}, таких, что п < N и а < {хп} < 0, причем О < а < ? < 1.
Положим
D(N)= sup \N~lF(N,a,?)~(?-a)\.
Q<a<?<l
Величина D(N) называется отклонением первых N членов последовательности {хп}.
Определение. Последовательность {хп} называется равномерно распределенной по модулю, равному единице (p.p. mod 1 или просто p.p.), если lim D(N) — 0.
