Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что если якобиан отображения Л положителен хотя бы в одной точке, то он положителен и для всех точек множества А. Этот факт следует из того, что отображения ф и ф не вырождены, то есть матрицы Якоби и J^ отображений ф и ф имеют максимальный ранг, равный k, и J^ = J\ ¦ Таким образом, ориентируемая поверхность допускает в точности две ориентации.
'Для того чтобы определить понятие ориентированной поверхности, состоящей из многих гладких кусков, нам прежде всего потребуется "согласовать" ориентацию поверхности и ее границы.
646 § 2. СОГЛАСОВАНИЕ ОРИЕНТАЦИЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
Определим сначала внешнюю сторону границы дА С К*. Так как она является кусочно-гладкой поверхностью размерности Ar — 1, то в каждой точке ее гладкости можно задать вектор нормали к ней (этот вектор ортогонален касательному подпространству размерности к — 1). Прямая, проходящая через рассматриваемую точку Є дА и коллинеарная вектору нормали, пересекает множество А по некоторому отрезку в силу выпуклости А. Тогда направляющий вектор п луча этой прямой с началом в точке жо> не пересекающий множество -А, называется внешней нормалью к границе дА в точке xq, а вектор (—п) — внутренней нормалью.
Пусть параметризация х = *(*)» X = (Хъ ••¦,**)> = (*ь 1)
задает данный гладкий кусок границы множества А. Будем говорить, что эта параметризация отвечает (соответствует) внешней стороне границы дА, если матрица Якоби этого отображения, дополненная слева вектором внешней нормали п. т.е. матрица
"' dtk-1 J '
имеет положительный определитель. Тем самым на прообразе А мы согласовали ориентацию множества А и ориентации его границы дА.
Далее пусть, как и раньше, ф : Шк En задает параметризацию поверхности В = Ф{А) и пусть X ' M*"1 —>¦ Mfc задает параметризацию границы дА. Тогда отбражение ф • х задает параметризацию границы dB поверхности Ь.
Будем говорить, что ориентация поверхности В и ориентация ее границы OB согласованы, если дБ есть образ границы дА, параметризация которой отвечает ее внешней стороне.
Пример. Пусть множество dB задается уравнением
Хк = f{xi,.. .,Xfc-i)
на границе дА выпуклого множества А в к~ 1 - мерном пространстве, где / — кусочно-гладкая функция на А. Тогда множество dB является кусочно - гладкой поверхностью размерности Ar-I и ее параметризацию ф можно задать следующими уравнениями:
— <1> ^fe-I = tk~ Ь Xk = fit 1» • • .,<4c-l)-
Матрица Якоби этого отображения имеет ранг, равный к — 1, поскольку она содержит единичную подматрицу размерности к — 1. Внешняя нормаль п к поверхности В коллинеарна вектору
J1 _
\ dt\ ' dt%i ' dtk
'df Л - A
647 а матрица
_ dtp
может быть записана в виде
/
л at, _ і JLL TT St2
л atfc_!
і h
и ее определитель равен
1
О
дф
dt і otjfc-i
0
1
о о
IL IL dt і at2
О \
0
1
9tfc-i /
Следовательно, ориентация поверхности ? и ориентация ее границы do в данном случае согласованы, если к - нечетное число. В случае четного числа к для того, чтобы согласовать ориентации поверхности В и ее границы, следует ориентацию границы dB заменить на противоположную.
Определим теперь кусочно-гладкую к-мерную ориентированную поверхность в n-мерном пространстве, состоящую из нескольких связанных между собой гладких ориентированных кусков с согласованно ориентированными границами.
Пусть два таких куска <р\ : А\ —> В\ и <р2 Л2 —> B2 соприкасаются по участку (6) их границ дВ\ и дВ2) причем В\ П B2 = (6) С дВ\С\дВ2. Если при этом: 1) участок (6) является кусочно-гладкой поверхностью размерности к — 1 и 2) две ориентации поверхности (b), порождаемые (р\ и (р2) являются противоположными, то объединение поверхностей В = Bi U B2 мы будем рассматривать как одну кусочно-гладкую ориентированную поверхность В (состоящую из двух кусков поверхности Si и B2). Аналогично поступаєм и для случая любого конечного количества связанных между собою подобным образом гладких кусков поверхности.
Заметим, что при разбиении гладкого куска ориентированной поверхности на две кусочно-гладкие ориентированные поверхности при помощи кусочно-гладкой ориентированной граничной поверхности эта граничная поверхность относительно каждого из получившихся ориентированных кусков приобретет противоположные ориентации.
Совокупность карт, отвечающих всем кускам данной поверхности, будем называть ее атласом.
648 § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Определение. Пусть 1 < к < п. Тогда дифференциальной формой Ar-го порядка, определенной на открытом множестве U С 1", будем называть следующее выражение (канонический вид дифференциальной формы):
w=w(x}dx) = Fmi, ..,mk{x) dxmi А - - - A dxmk,
l<mi<--<m*<n
причем операция А внешнего произведения дифференциалов (формальная) удовлетворяет условиям:
а) (dx A dy) A dz = dx A (dy A dz) (ассоциативность);
б) dx Ady = —dy A dx (антисимметричность);
в) d(axi + bx2)AdyA- --A dz = a dx \ Ady A--Adz+ b dx 2 AdyA- • - A dz Va, b Є M (полилинейность).
Дифференциальную форму wo вида ш = F(x) dxmi A--A dxmk назовем базисной дифференциальной fc-формоЙ.
