Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, пусть задана кривая L с начальной точкой А и переменной точкой М. Обозначим через I(M) длину дуги AM этой кривой, а через т(М) — единичный касательный вектор к ней в точке М. Тогда работа W(P) силы F(M) по перемещению пробной массы по пути AP равна
W(P) = J (F(M),f(M))dl(M) = J (grad h(M),f(M))dl (M) =
AP AP
= J ЩР~ІІ(М) = h(P) - h(A).
AP
Определение 2. Циркуляцией векторного поля F(M) по замкнутому контуру L назовем величину
J(F(M),f(M))dl(M).
L
Из предыдущего выражения для работы W(P) силы F(M) по контуру L имеем, что циркуляция потенциального поля по любому замкнутому спрямляемому контуру равна нулю.
Отметим, что в теоремах 1, 2 и 3 §8 мы получили необходимое и достаточное условие потенциальности поля. Сформулируем эти условия, используя новую терминологию.
Теоремаї. Для того чтобы гладкое векторное поле было потенциальным в выпуклой области Q, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий:
639 1) для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой LgQ
j>(F(M),f(M))dl = 0,
L
2) rot F(M)=O.
Напомним, что для отображения F(M) = (P(M)yQ(M), R(M)) в силу определения имеет место равенство
\dy dz* dz dx' dx dy)
Определение 3. Векторное поле <p(u) называется соленоидаль-ным (или трубчатым), если существует векторное поле ф(й) такое, что
ф(й) = rot ф(и),
а векторное поле ф(й) называется векторным потенциалом поля
¦ ф(й).
Теорема 2. Пусть О, — выпуклый компакт. Для того чтобы векторное поле ф было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы для всех точек Cl выполнялось равенство
div ф = 0.
Доказательство. Необходимость. Поле ф является соленоидальным. Следовательно,
ф(и) = rot^(u).
Но поскольку для любого векторного поля ф справедливо равенство div rot = 0, имеем div ф = 0 на области П. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь div ф ~ 0 на области Q. Докажем, что существует векторное поле ф такое, что rot ф = ф. Поставим в соответствие векторному полю ф = (Р, Q, R) дифференциальную форму
w = и;(г, df) = Pdy Adz + Qdz A dx + Rdx A dy,
г = (х,у, z),df= (dx,dy,dz).
Тогда условие div ф = 0 на Q эквивалентно тому, что du = 0 на fi. А условие существования векторного поля ф> = (А, В, С), удовлетворяющего равенству Tot^ = V?, означает, что найдется дифференциальная форма а = Adx + Bdy + С dz такая, что da = uj.
640 Будем искать форму а, исходя из равенства
1 ,2
da = jd-№^ldt = u{f>if).
Рассмотрим сначала только одно слагаемое Uq = R dx A dy. Имеем
d(t2A(tr,dr))_ 2dR_ -dt-+
" = t Ы 1 xdR I ydR I = дЛ) = t (d(Rx) I d{Ry) \ zdR) \ dx dy dz J \dx dy dz J
Далее воспользуемся тем, что du = 0, т.е.
dP dQ dR п
--j--2L -j--— 0.
dx dy dz
Получим
d{t2R(tf, df)) _ t rdjRx) d(Ry) _zdP_ _ ^dQ dt V dx dy dx dy
t fd{Rx - Pz) d{Ry-Qz)
V dx dy
Отсюда имеем
^ = ja(SR(trM) dtdxAdy =
О
=(^J (Rx~ Pz)t dtJ dx A dV + ^ ^ JiQz - %)* dt j dy A dx.
Аналогично получим соотношения
/
1 d{t2Q{tf, df)) J J J v v — dtdzAdx =
dt
1 \ / 1 d I f/Л „ ч. ,. \ , . d
J(Qz - Ry)t dt dz Adx + ~ lj(Py - Qx)t dt J dx A dz,
dz
\o / Yo
641 У dtdsAdz =
О
1 \ /1
= -Ц- Ij(Py - Qx)t dt j dy A dz + I J(Rx - Pz)t dt J dz A dy.
чО / \0
Следовательно, форму а можно взять в виде
1
а = if Ry)1 dt J dx+
+ yj(Rx~ Pz)t dtj dy + ^J (Py - Qx) dt J dz.
Теорема 2 доказана полностью.
Замечание. Теорема 2 — частный случай теоремы Пуанкаре о множестве замкнутых и точных дифференциальных форм. Форму а в доказательстве достаточности теоремы 2 можно выбрать не единственным способом. Например, условию теоремы удовлетворяет любая форма вида a + d?. Отметим также, что любое векторное поле можно представить в виде суммы потенциального и соленоидального полей.
Пример. Пусть V — некоторый выпуклый измеримый по Жордану компакт, V С M3. Для любой фиксированной точки P Є M3 и любой точки M Є V определим радиус-вектор"
f = f(M) = (х(М), у(М), z(M)), г = ^x2(M) + у2(M) + Z2(M)
и элемент объема dV области V в виде dV = dx(M) dy(M) dz(M). Пусть на области V задано векторное поле j = j(M).
Тогда можно определить силовое поле H — H(P) векторного поля j(M) по следующей формуле:
"(р) = ///
H = H(P) = 111 dV.
Отметим, что в любой точке P Є IR3 определено силовое поле H(P). В случае P Є M3 \ V интеграл, задающий поле Н, представляет собой обычный тройной интеграл Римана от гладкой функции. Если же P Є V, то этот интеграл является несобственным и его сходимость следует из признака сравнения (для этого область V можно разбить
642 на шаровые слои с центром в точке P и радиусом г с условием є<г< 2е, є = 2~к, keN).
Покажем, что для любой точки P (fc V имеет место равенство
div H = O,
т.е. в силу теоремы 2 поле H является соленоидальным в области M3 \ V.
Действительно, если єі,Є2,єз — орты, направленные по осям координат Ох, Oy, Oz прямоугольной системы координат, j = = (ІьІ2,Із), r=(x,y,z), то имеем
b'.rl
1
= Єї
Отсюда дР
