Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, дифференциал функции h(x,y) совпадает с дифференциальной формой ш. Теорема 2 доказана.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть П — выпуклая область. Дифференциальная форма u> = Pdx + Qdy + Я<іг тогда и только тогда является полным дифференциалом, когда для всех точек области ^ выполняются равенства
^P _ ag dP__ ^R dQ_ OR dy dx dz dx' dz dy'
И вообще, в выпуклой области Q CMn условие, что дифференциальная форма ш является полным дифференциалом некоторой функции h, т.е. ш = dh, эквивалентно условию du = 0.
Пример. Пусть f(z) — функция комплексного переменного Z = = X + iy, х, у Є К, принимающая комплексные значения
f(z) = u(x, у) + iv(x, у) = u + iv,
где u,v — вещественнозначные функции и f(z) — однозначная в некоторой области Q комплексной плоскости С. Пусть L — простая спрямляемая ориентированная кривая, L Є Cl.
Определим криволинейный интеграл I от функции f(z) по кривой L следующей формулой:
I = J f(z) dz = J(u + + idy) = J(udx — vdy) + і J(vdx + udy).
LL LL
Пусть функции u = u(x,y) иг» = v(x,y) являются гладкими в области Сі. Далее потребуем, чтобы интеграл I не зависел от кривой интегрирования L, а зависел только от начальной ее точки Zq и концевой точки z.
В силу теорем 1 и 2 в этом случае имеем
du dv du dv dx dy' dy dx'
Эти условия называются условиями Коши — Римана. Отметим, что при наличии гладкости функций и и v в области О они являются необходимыми и достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного.
Итак, пусть функции и и v являются гладкими. Рассмотрим интеграл
z
F(z) = J f(z) dz = J f(z) dz = U(x, у) + iV(x, у),
L Z0
632 где
г г
U = U(x} у) = J udx — vdy, Vr = V{aj, у) = J vdx 4? udy.
Zo ^o
Отсюда получим
da: dy ' ду дх Следовательно, функция является дифференцируемой и
ч dU .dV . ,, ч
^W= в? +1A? = 11+ " = ZW-
Таким образом, функция F(z) является первообразной функции f{z), и для интеграла от функции /(г) имеет место теорема Ньютона -Лейбница.
Простым следствием теорем 1 и 2 является следующая теорема.
T е о р е м а 4. Пусть функция /(г) — однозначна и непрерывна в области Qt принадлежащей комплексной плоскости С. Тогда для любого простого спрямляемого ориентированного замкнутого контура LeQ справедливо равенство
/
f{z) dz = 0.
Полученная теорема называется основной теоремы Коши в теории функций одного комплексного переменного.
§ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Рассмотрим выпуклую область V в трехмерном пространстве R3. Пусть на этой области задана скалярная функция E V и
отображение <p(u) области V в трехмерное пространство.
Традиционно в приложениях анализа к математической физике и механике ряд вопросов, связанных с изучением функций h(u) и <р(й), выделяется в отдельный раздел, который называется векторным анализом или теорией (векторного) поля. По существу, этот раздел ничего нового, кроме обозначений, не содержит. Но язык этих обозначений надо знать.
22 Лекции по математическому анвліиу
633 Определение 1. Функция h(u) называется скалярным полем, а отображение <р(й) называется векторным полем на области V. Если функции h(U) и (р(й) — гладкие, то соответствующие поля тоже называются гладкими.
Далее будем считать, что Л(й) и ip(u) — гладкие функции на V.
Определение 2. Векторное поле А(й) = (§?,§?>§7) — grad/i(u) называется градиентом скалярного поля h(u).
Определение 3. Производной по направлению I скалярного поля h(u) в точке «о называется величина
Примеры. 1. Множество всех точек й, удовлетворяющих условию Л(й), равно некоторой постоянной величине а, называется множеством уровня функции h(u). Пусть множество уровня Л(й) = Л(йо) = сі представляет собой гладкую поверхность П = Па в окрестности точки й = йо. Тогда в любом направлении I для кривой L Є П, имеющей это направление, т.е. касательный вектор к кривой L в точке йо совпадает с вектором направления /, справедливо равенство Off = 0, поскольку для точек кривой L имеем Ah(Ho) = Л(йі) — h(u0) = 0. Отсюда получим
Следовательно, если вектор grad/i(«o) ф б, то вектор градиента функции /і(й) в точке йо ортогонален вектору ё, касательному к поверхности уровня П.
2. Рассмотрим функцию Л (и) = /(г), где г = |[й—«о||. Поверхностью уровня П = Па этой функции является сфера с центром в точке Uq и радиусом, равным а. Тогда вектор градиента функции /(г) направлен по нормали к сфере, т.е. по ее радиусу г = й — «о- Следовательно, grad /(г) = / (r)?. В частности, имеем grad (—= Ar.
3. Пусть в точке йо помещена пробная единичная точечная масса, а в точках uj — масса m— масса m^. Пусть ї\ = = ui — йо,..., r/t = Ufc — йо. Тогда сила притяжения, действующая на пробную массу, равна
Iim
t-+o
h(uQ + te) — Л(ио) _ dh
t
er
dh
— = (grad h(u), є) = 0.
F(U0) = mi ~з +----\-mk
rf
634 Из предыдущего примера получим
*(«,) = grad (-E^)
4. Пусть на измеримом по Жордану компакте V Є M3 задана кусочно-непрерывная функция распределения р(М),М Є V, массы тела V. Положим р(М) = 0, если M ?. КПусть P — некоторая фиксированная точка, M — любая переменная точка и пусть г = = r{M) = г(Р, М). Тогда сила, действующая на пробную точечную единичную массу, помещенную в точке Р, по аналогии с дискретным случаем равна
