Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Ясно, что последнее определение распространяет понятие поверхностного интеграла второго рода на случай поверхностей, являющихся образами при гладком отображении квадрируемых (то есть измеримых по Жордану) плоских фигур. Вместе с тем в этом случае оказывается верной теорема о выражении поверхностного интеграла второго рода через двойной интеграл Римана.
Замечания. 1. (Важное для теоремы Стокса). Указанная выше теорема позволяет рассматривать интегралы типа
Jj Pdx A dx, JJ Qdy Л dy, JJ Rdz Л dz.
DDD Сводя по ней эти интегралы к обычным двойным интегралам, получим, что для любых функций Р, Q, R справедливо равенство
J J Pdx Adx = J J Qdy Ady = J J Rdz Adz = 0.
d d d
Это замечание позволяет, например, записать формулу Грина в компактной и удобной форме:
J Pdx + Qdy= J J(dP) A dx + {dQ) A dy.
л d
620 Здесь D — выпуклая область, Л — ее кусочно-гладкая граница, ориентированная в положительном направлении, a dP и dQ — дифференциалы функций PnQ. При этом интеграл f fD понимается не как двойной, а как поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне плоской поверхности D. Действительно, тогда имеем
J J(dP) Adx = J J(P'xdx + Pydy) Adx =
d d
= JJ PgdxAdx + J J P'ydyAdx = -J J p'ydxAdy.
d d d
Аналогично, получим
J J(dQ)Ady = J J QtdxAdy.
d d
Выбирая тривиальную параметризацию х = х,у=у} последние интегралы можно рассматривать как обычные двойные интегралы. Поэтому мы получим формулу Грина в доказанном ранее виде.
2. Следует отметить, что поверхности, задаваемые с помощью достаточно простых формул, не всегда являются кусочно-гладкими. Например, сюда относится поверхность конуса с вершиной. Тем не менее построенная выше система определений позволяет рассматривать интегралы и для поверхностей такого рода. Для этого можно использовать конструкцию, родственную теории несобственных интегралов. В указанном выше случае искомое значение поверхностного интеграла определяется как предел интегралов по поверхностям конуса без некоторых окрестностей его вершины, при условии, что радиусы данных окрестностей стремятся к нулю. Лекция 13
§ 6. ФОРМУЛА CTOKCA
В указанной выше форме формула Грина справедлива не только в плоском случае, но и в трехмерном пространстве, где она называется формулой Стокса,
Теоремаї (формула Стокса). Пусть D — гладкая невырожденная (без особых точек) поверхность в E3, которая является образом плоского выпуклого множества Dq при отображении г = r(u,v), причем его координаты являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Пусть кривая L — кусочно-гладкая граница поверхности D, являющаяся образом кусочно-гладкой границы А множества Do- Ориентация границы L отвечает параметризации г. Пусть также P1Q, R — гладкие функции на D.
Тогда справедлива формула
J Pdx + Qdy + Rdz = JJ(dP) A dx + (dQ) Ady+ (dR) A dz =
l d
Ч!
OR OQ\ , , fdP dR\ , , (dQ dP\ . ,
--— )dyhdz+\---— ) dz A dx + ---— \dx Ady.
Oy OZ J \ OZ OX ) \ OX Oy J
d
Доказательство. В силу линейности поверхностного интеграла достаточно рассмотреть случай интеграла К = §L Pdx, т.е. достаточно доказать формулу
К = J Pdx = Jj{dP) Adx = JJ p'zdz Adx- Pydx Ady = S.
l d d
Пусть r(u,v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) — параметризация поверхности D, причем (u,v) Є Dq. Кроме того, на границе А области Dq задана кусочно-гладкая параметризация
(«,V) = (u(t), v(t)),t Є I = [0,1],(«(0), V(O)) = (u(lMl)),
которая определяет на кривой L параметризацию r(u(f), v(t)).
В силу теоремы о выражении криволинейного интеграла через определенный интеграл имеем
і
K = Jpdx = J P(f(u(t),v(t)))dx(u(t),v(t)).
622 По той же теореме последний интеграл равен
К = J P(r(u, v))(ix(ut u) = J P(r(u, v))(xudu + xvdv).
A
К интегралу К применим формулу Грина. Получим
K = J P{r{u, v))dx(u, v) = JJ(dP(r(u, v))) A dx(u, v).
Воспользуемся инвариантностью формы первого дифференциала и непрерывностью вторых частных производных функций x(u,v),y(u,v), z(u,v). Имеем
dP(r(u, v)) = P'xdx(u, V) + P'ydy(u, v) + P'zdz(u, v). Следовательно,
K = JJ Pzdz(u, i>) Л dx(u, и) ~ Pydx(u, d) Л cfj/(u, v) = .
Здесь Si рассматривается как поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне плоской области Dq. Но при параметризации г — = r(u, v) оба интеграла S и Si дают одно и то же выражение. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно раскрыть скобки в выражениях dz(u,v) Adx(u,v) и dx (и >v) Ady(UiV)i считая, что dx(u, v) = xudu + xvdv и т.д.
Окончательно имеем, что 5 И Si сводятся к одному и тому же двойному интегралу
S = Si= JJ(PzB - p'yC)dudv,
ou
В = i zu i i xu i ,C = i zu i і xu i
zv xv Zb xv
где
Тем самым, доказано равенство К = S. Теорема 1 доказана.
Замечание. Применяя формулу Стокса к плоской поверхности D, распространим формулу Грина на случай областей, которые являются образами-выпуклых множеств, а затем, уже используя это утверждение при доказательстве формулы Стокса, мы можем в теореме 1 считать, что область Dq есть образ выпуклого измеримого множества.
