Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
{1, если сх О — в пр
2) можно предст<
" }
lim N 1J^g(Xn)= / g{x)dx.
V—юо *—* /
n=1 І
<x<?, противном случае.
Тогда утверждение 2) можно представить в виде
N
I ЛГ1'
W-K
Заметим, что если последнее равенство выполняется для нескольких функциий д\(х),... ,gk(x), то. оно выполняется для любой их линейной комбинации с\д\(х) -I- • •• + Ckgk(x) с вещественными коэффициентами ci,..., Ck- Следовательно, это равенство имеет место для любой кусочно-постоянной функции.
Возьмем теперь любую интегрируемую функцию f(x). Тогда для всякого S > 0 существует такое разбиение T : 0 = Xq < • • • < xr = 1 отрезка [0, 1], что выполняются неравенства
і
s(T) < J f(x) dx < S(T)t S(T) -S(T) <
о
где s(T) и S(T) — соответственно нижняя и верхняя суммы Дарбу,
г г
s(T) = ]Г mtbzu S(T) = J2 М*Ах*> t=i t=i
mt = inf f(x),Mt = sup f(x).
Суммы Дарбу s(T) и S(T) можно представить также в виде
і і s(T) = J h(x) dx, S(T) = J Н(х) dx,
о о
где
= mtlH(x) = Aft,если х Є At = = 1,.. .,г.
23 Лекции йо _чатематнчітко.ч\' анализу
665 Так как h(x) и Н(х) — кусочно-постоянные функции, то существует число Nq такое, что для всех N > Nq выполняются неравенства
N j.
IiV-1 Y h(xn)~ J h(x) dx К
П = 1 п
N
IN-1YhM- JH(X) dx\<
п = 1 0
Следовательно, имеем
N N
s(T) - €- < N'1 Y hM < N-1Y hM < S(T) + I
П=1 П=1
Но поскольку для всех точек X 6 [0,1] выполняется неравенство h(x) < f(x) < Н(х), будем иметь
NNN
N-1 Y hM < N-1 Y /(*») < N~l Y нм-
п=1 П=1 П = 1
Поэтому из предыдущего неравенства получим
N
s(T)-€-<N~'YfM<S(T) + ?-.
п = 1
Следовательно, имеем
N 1
!AT"1 Y /Ы - J f(x) dx\ < S(T) - S(T) +
п = 1 0
А это и означает, что выполняется утверждение 3).
Докажем теперь, что из 5) следует 1). Надо доказать, что
lim D(Q) = 0.
Q-+оо
Для этого преобразуем функцию
F(Q,at?) = ?>(*„},
n<Q
666 где
Г I1 если а < х < ?,
gW = і п
О — в противном случае. Заметим, что функцию д(х) можно представить в виде
д{х) = p(? - х) - p{ot - х) + [? - а),
где р(х) — 1/2 — {я}. Рассмотрим далее периодическую функцию <7о(я), с периодом 1,
Г 1, если а < X < ?, = \ 1/2, если x = a,x = ?,
(О, если 0<x<a,?<x<l.
Она совпадает с функцией д(х) во всех точках, кроме точек х = а и X = /?, в которых она принимает значение, равное 1/2. Эту функцию можно представить в виде
- Po(?-x) - ро{а - р) + ? - Q,
где
{1/2 —{а:}, если X — нецелое число, 0, если X — целое число.
Ранее (см. лекцию 23, ч. 1ЇІ) для любого N > 1 мы получили неравенство
N sin 2wnx
Ых) - У2 ———і ^
тГ Tl
TTfl п = 1
где V\fv(z) = ¦/"• .......................• Заметим, что последнее неравенство остается
Лу/l+TV2 sin2 кх
справедливым, если значение функции ро в целых точках, равное нулю, заменить на значение 1/2 функции р(х) ™ 1/2 — {ж} в тех же точках.
Разложим функцию ^jv(ж) в ряд Фурье. По лемме его коэффициенты Фурье ст оцениваются следующим образом
IcmI < (Tr7V)-1(4 -f lnjY)e~'m'yW.
Таким образом
д(х) = ? — a -f V*" — (sin 27Гn(? — х) — sin 2тгп(а — ar)) -j- R^,
^ 7ГП
п = 1
22*
667 где
Положим M = [TVlniV] + !. Тогда функцию фн(х) можно представить в виде
^w= E +о (Цf).
0<|m|<M V '
Теперь преобразуем функцию F(Q;a,?), исходя из соотношений для функции д(х). Получим
IQ-lF{Q-а, ?) - (?~ а)\ = \Q~l ? д(хп) - (? - а)\<
n<Q
l<|m|<M ' '
где А > 0 — некоторая постоянная,
n<Q
Заметим, что для любого вещественного числа ? справедливо равенство
ITm(^)I = ITm(O)I = Tm.
Возьмем любое число б > 0. Выберем наименьшее число N из условия
Aln N є < 2'
т.е. возьмем
N
— In 2А
є є
+ 1.
Так как lim Q 1Tm = 0, то существует число Qo такое, что для
Q-+оо
всех Q > Qо и для всех m, 1 < т < M = [N log N] + 1 выполняется неравенство
IQ-1TmI <
4(1 +In JV) IniV'
Следовательно, для всякого є > 0 мы нашли число Q0 такое, что для всех Q > Qо справедливо неравенство
D(Q)= sup IQ-1FtQ; а, ?)-(?-a)\<e.
0<a<?<l
Это означает, что lim D(Q) = 0.
N—too
668 Теорема доказана полностью.
Примеры. 1. Пусть а и ? — вещественные числа и а — иррациональное число. Тогда последовательность {ctn+?} равномерно распределена по модулю 1.
Действительно, при любом фиксированном целом числе т, отличном от нуля, имеем
N 1 <rN = IJV"1 <
U=I
TV) Smyrna:I
Так как a — иррациональное число, то sin тгта ф 0. Поэтому <т^ —ь 0 при N —^ оо. Следовательно, согласно критерию Г.Вейля последовательность {ап + в] равномерно распределена по модулю 1.
2. Пусть a — иррациональное число и Axn = xn+i — хп —у a при п —> оо. Тогда последовательность {хп} равномерно распределена по модулю 1. В частности, последовательность хп = an + у/п равномерно распределена по модулю 1.
Положим Xn+! -хп = a-f уп, lim уп = 0. Рассмотрим тригонометри-
n-f OO
ческую сумму
N
SN = N-l^e2nimxn-
Тогда имеем
п — 1
N
SM^2irimci — ^^ е2іг*т(гп+і-Уп) _
П —1
