Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
—»
(P ш.
А
¦ А
Теорема 1 доказана.
Следующая теорема является весьма полезным инструментом в различных приложениях поверхностных интегралов. В случае интеграла Римана она решает задачу нахождения подынтегральной функции по
Теорема2. Пусть U — выпуклый измеримый компакт в Mn. Пусть также для любой ориентированной кусочно-гладкой к-мерной поверхности BCU существует интеграл второго рода I(B) от непрерывной дифференциальной к-формы и. Тогда форма и однозначно определяется по значениям интегралов I(B).
Доказательство. Пусть форма иі имеет вид
Пусть а(ж) = Ctilj...,ifc(^) — любой коэффициент формы ш. Найдем его значение в точке Xq = (хю,...,їпо) Є U. Для этого на к - мерной ПЛОСКОСТИ Xi = XiO 5 І ф і'b • • • , Ч В03ЬМЄМ ^-окрестность Se ТОЧКИ Xo. Это будет ориентируемая поверхность в 1". В качестве параметризации ее возьмем переменные t = (<i,..., tft), 11 = xn,... ,tk = Xik. Тогда интеграл I(Se) равен
ее первообразной.
l<ii< <u<n
653 где последний интеграл является обычным fc-кратным интегралом Римана. Отсюда по теореме о среднем имеем
а(г0) = Iim -—І— [ ш. С-+0 p[Se) J
5,
Теорема 2 доказана.
§ б. ОПЕРАЦИЯ' ВНЕШНЕГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
В дальнейшем мы всюду будем пользоваться тем, что выражение, т.е. диффернциальную форму dF(x), записанную в каноническом виде, можно рассматривать и как обычный дифференциал функции F(x). Приведем теперь определение внешнего дифференциала.
Определение. Дифференциалом (точнее, внешним дифференциалом) дифференциальной к-формы и называется к+ 1-форма ui du вида
du= Yl dFmi.,.mk(x) Adxmi А Adxmk.
l<mi<--<mfc<n
Примеры. 1. Пусть к = 1. Тогда
du= dFm(x) A dxm = X/ dXr A dXm ~
1 <m<n 1 <m<n 1 <r<n r
l<r<m<n ^ '
2. Пусть к = п-1 = 2, a = (P1Q1R)y u = PdyAdz+QdzAdx+RdxAdy. Тогда
du = dx A dy A dz + dy A dz A dx + ^?- dz A dx A dy = Ox oy Oz
f dP dQ dR\ = f -f + — J dx A dy A dz = (div a) dx Ady A dz.
JI e M M а 1. Пусть заданы u\ —дифференциальная & і-форма,..., ur — дифференци&аьная кг-форма. Тогда имеет место равенство
г
d(u) = d(ui А ¦ ¦ -Aur) = ^(-l)fcl + ""+*'wi A--Adu3A.. .ur.
s=z 1
654 Доказательство. Очевидно, можно ограничиться рассмотрением базисных дифференциальных форм вида
Wi = F1 (г) dxo{ 1) Л • ¦ • Л dxa{kl) ~ F1(X)Wlj0,
wr = Fr(x) A-A <fxT(jtr) = Fr(x)uГі0, где or, т — некоторые подстановки п чисел. По определению имеем
d(u) = d(Fi(x). . .Fr(x)) Awli0 А • - -Awr)0 =
n
= • • • dFA*) ¦ • • M*)) a Wi(0 A • • • A wr>0 =
3 = 1
г
= 53(-l)*1+,"+fe'u>i A-A dus A .., wr. ?=1
Лемма 1 доказана.
JI е м м а 2, Справедливо равенство d2w = 0. Доказательство. Действительно, имеем
df^w — d(du>) =
= E-E ЁEefip^C{i)dx'AAA=
l<mi< <гпк<п s — 1 r—1
(d*Fmi_mk(x) d2Fmi_mk(x)
i<mx< <mfc<nl<»<r<n 4 л г r s /
xdxs A dxr A ^xfni A • • • A Ofxrnfc = 0.
Здесь мы воспользовались теоремой Шварца о равенстве вторых смешанных производных при условии их непрерывности. Лемма 2 доказана.
Теорема. Пусть <р : Mri-* Rn — дважды непрерывно дифференцируемое отображение и w — гладкая дифференциальная форма. Тогда справедливо равенство
<p*(du>) = d(<p*u>).
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать утверждение теоремы только для дифференциальной формы
w = F(x) dxmi А • • • A dx
тк
655 Из определения дифференциала формы ш и леммы 1 имеем
d{<p*w) = d(F(<p(t)) d<pmi(t) А • * • Л d<prnk(t)) =
= rf(F(p(f)) Л Atpmx (t) Л • • • Л d<pm„ (*))+ +F(?(t) Л d{d<pmi (і) A - A d<pmk (і)) = A +В. Вновь воспользуемся леммой 1, а затем — леммой 2. Получим к
В = 2^,(? А • ¦ • Л d2<pm,(t) Л • • Л d<pmk(t) = 0.
5 = 1
Далее по определению индуцированной формы имеем А = <p*(dF(x) A dxmi A-A dxmk) = <p*(dw). Теорема доказана.
§ 7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ФОРМУЛЫ СТОКСА Имеет место следующая теорема.
Теорема, (общая формула Стокса). Пусть В — кусочно-гладкая ориентированная поверхность размерности к и ориентация ее границы dB согласовала с ориентацией самой поверхности В, w — гладкая k— 1-форма. Тогда справедливо равенство
Ju = Jdu.
ав в
Доказательство. Пусть поверхность В задается отображением <р : А —» В. Тогда из следующей цепочки равенств получаем утверждение теоремы:
JuUJ ф-u ® J сі(ф-и) ® J ?(dU)W J dU.
dB дА А А В
В доказательстве нуждается только второе равенство
J <pmL0 = J d(<p*w),
дА
656 так как первое и четвертое равенства следуют из определения поверхностного интеграла второго рода, а третье — из справедливости соотношения <p*(dw) = d(<p*u).
Согласно определению к — 1-формы в ^-мерном пространстве и операции дифференцирования имеем
tpmU~ Y фт,,...,ты(<1.....М^т.Л'-АЛтыь
l<mi<-<mk_i<*
Hfu)= Y1-T1 9Фт......та,(<'.....^ ^.AdtmiA- Adtmt,,,
где 1 < s < к, s ф mi,..., mfc-i.
Из этого представления в силу Линейности интеграла следует, что достаточно доказать равенство t = Й, ...,і*-1) :
J Ф(t1tk)dt1 A- -Adtk^1 = J ^tkAdtlA--A <Ufc_t.
дА А
Обозначим через D проекцию множества А на гиперплоскость tk = 0. В силу выпуклости множества А его можно представить в виде
