Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
«n-lffW*™
где dV{M) ~ dx(M)dy(M)dz(M).
Силовую функцию F(P) можно представить в следующем виде:
F(P) — grad^(P),
где
v
Действительно, имеем
^-IHmdvw-
grad <р{Р) = JJJ р(М) grad (M) =
v
v
Определение 4. Пусть ф(г) = (PtQ, R) — гладкое векторное ноле. Тогда величина
8Р 8Q OR
--j---j--— di у ip
дх ду dz
называется дивергенцией векторного поля, а вектор (8R 8Q BP dR dQ dP
\dy dz ' dz dx ' dx dy называется ротором векторного поля (p.
22* 635
= rot ip Если введем в рассмотрение оператор "набла" V, полагая
[dx'dy'dzj '
то предыдущие определения можно формально записать в виде
div ^ = (V,?),rot? = [V,?],grad/t = V/i,
где символические выражения (¦, ),[ , ] обозначают соответственно скалярное и векторное произведения.
Можно также определить div ^ и rot <р из тождества для дифференциальных форм:
du2 = (dP) Л dy Л dz + (dQ) AdzAdx + {dR) Adx Ady = (div <p)dx dy dz, du>i = (dP) Adx^ [dQ) Ady+[dR) Adz = V1 dyAdz + v2 dz Adx + V3 dxAdy, где
rot (p = {vi, v2,v3), dh(u) = (gradh(u), du).
Отсюда, используя соотношения dx A dx = 0, dx A dy = —dy A dx и т.д., получим соответственно выражения для div ф и rot (р. Отметим два полезных тождества
rot grad Л(й) = 0, div rot ф(й) = 0.
Их доказательство получается прямыми вычислениями. Оно является следствием того, что для дифференциальной формы и справедливо равенство d2u = 0.
Действительно, первое тождество следует из формулы
с*(?/Л(й)) = d2h(u) = О,
а второе тождество — из формулы
^2Wi = d(dP A dx -1- dQ A dy + dR A dz) = 0.
Определение 5. Криволинейный интеграл I0 второго рода
I0 = J Pdx + Qdy + Rdz
L
по кусочно-гладкой ориентированной замкнутой кривой L называется циркуляцией вектора <р = (P,Q,R) по замкнутому контуру L.
Если t — единичный касательный вектор в положительном направлении обхода контура L1 то интеграл /о можно записать в виде
h = J (<Р, r)dl,
L
где dl — элемент длины дуги кривой L.
636 Определение 6. Поверхностный интеграл второго рода но выделенной стороне двусторонней кусочно-гладкой измеримой поверхности S вида
-H
Pdy /\dz + Qdz Adx+ Rdx A dy
называется потоком вектора <р = (Р, Q,R) через поверхность S.
Если через ті обозначим нормаль к поверхности, соответствующую выбранной стороне поверхности, то поток I через поверхность S можно записать в виде
= Л
Переформулируем в векторном виде теоремы Стокса и Гаусса -Остроградского.
Пусть сторона поверхности S, отвечающая вектору нормали п, согласована с направлением обхода контура, отвечающим вектору т, единичному касательному вектору к кривой L. Это можно сделать, например, так. По непрерывности определим вектор нормали на кривой L, а затем вектор г направим в ту сторону, чтобы относительно п обход контура совершался "против часовой стрелки".
Теоремаї {формула Стокса). Циркуляция вектора Cp по кусочно-гладкой границе L кусочно-гладкой поверхности S равна потоку rot <р через эту поверхность, т.е.
J((p,r)dl = JJ (Tot<p,n)dS.
Теорема2 (формула Гаусса - Остроградского). Поток вектора <р через кусочно-гладкую границу S выпуклой трехмерной области V равен тройному интегралу от дивергенции вектора (р по множеству
V, т.е.
JJ(<p,n)dS = JJJ div <pdV,
S V
где n — внешняя нормаль к поверхности S.
Отметим еще три интересных следствия формулы Гаусса - Остроградского. Справедливы следующие равенства:
1) fJ(n,p)dS = fff(V,<p)dV,
2) ff[n,<p]dS = fff{V,<p]dV,
637 3) JfnhdS = fffVhdV.
s v
Действительно, рассмотрим, например, формулу 2). В ней первая »координата векторного равенства имеет вид
S V
Для векторного поля = (0, Ry —Q) предыдущее равенство представляет собой обычную формулу Гаусса - Остроградского. Аналогично устанавливается равенство вторых, третьих координат равенства 2).
Равенство 3) следует из формулы Гаусса - Остроградского для векторных полей (Л, 0,0), (О, Л, 0), (О, О, Л).
Обозначим через d диаметр области V, а через p{V) ее объем. Тогда, используя теорему о среднем для каждой компоненты векторных полей tot у = [V,y?] и grad Л = Vh в равенствах 1),2),3), а затем, переходя к пределу при d 0, получим
4) div <р = Iim
S
5) rot <р = lim ^y //[п, ф] dS,
6) grad h = lim jfa Jf nh dS.
S
Интеграл в равенстве 4) представляет собой поток векторного поля <р через замкнутую поверхность S, являющуюся границей тела V. По аналогии с этим интегралы в равенствах 5) и 6) назовем векторными потоками соответственно векторного поля <р и скалярного поля h через поверхность 5.
Отметим также, что эти формулы дают инвариантное относительно выбора прямоугольной системы координат определение градиента, дивергенции и ротора. Лекиля 15
§ 10. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ И СОЛЕНОИДА Л ЬНОЕ ВЕКТОРНЫЕ
ПОЛЯ
Определение 1. Векторное поле F(M), M Є V, называется потенциальным в области V, если найдется скалярная функция h(M) такая, что F(M) = grad Л(М), сама функция h(M) тогда называется потенциалом векторного поля F(M).
Если величину F(M) рассматривать в качестве силы, действующей в точке M на пробную точечную единичную массу, то потенциал h(M) будет иметь смысл работы по перемещению этой точечной массы из бесконечности в точку М.
