Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
623 § 7. ФОРМУЛА ГАУССА - ОСТРОГРАДСКОГО
Эта формула является аналогом формулы Грина в трехмерном пространстве.
ТеоремаХ (формула Гаусса - Остроградского). Пусть:
1) множество V Є K3 — выпуклый, измеримый по Жордану, компакт;
2) граница S множества V есть невырожденная (без особых точек) кусочно-гладкая поверхность;
3) заданы гладкие функции P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z) на множестве V.
Тогда имеет место формула
Здесь интеграл в левой части равенства является интегралом второго рода, который берется по внешней стороне поверхности S+, а в правой части равенства — обычный тройной интеграл по множеству V.
Доказательство. Как и при доказательстве формулы Грина, рассмотрим только случай P = O1Q = O. Спроектируем поверхность S на плоскость хOy и обозначим эту проекцию через D. В силу выпуклости V всякая прямая, параллельная оси Oz и пересекающая D, пересекает V по отрезку. Пусть (х,у) Є D, тогда нижний конец этого отрезка имеет координаты (х, у, <р\(х, у)), а верхний конец отрезка — координаты (х,у,<р2(х,у)). Пусть, далее, А = сШ обозначает границу множества D.
Тогда поверхность D разбивается на три кусочно-гладких части:
Здесь для поверхности Sі интегрирование ведется по ее нижней стороне, а для S2 — по верхней стороне, и, наконец, для S3, представляющей боковую часть поверхности S, — по стороне, нормаль к которой перпендикулярна оси Oz и является внешней нормалью по отношению к D.
По теореме о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу Римана имеем
V
51 = {(х,у,г)|(х,у) Є D,z = <pi(x,y)},
52 = {(z, У, z)|(x, у) Є D, z = ip2(x, у)},
53 = *)!(*, У) Є A1 (x,y,z) ? SiUS2).
624 поскольку cos (п, ёз) = 0. Далее,
JJ RdxAdy = JJ Rcos (n,e3)dS = - JJ R(x, у, <pi(x, y))dxdy,
Si Si
JJ RdxAdy = JJ Rcos{n,e3)dS = JJ R{x,y, <p2(x,y))dxdy.
S1 S3 D
По формуле Ньютона - Лейбница при фиксированных (х,у) получим
я(х, у, у?2(*, у)) - У, (а?, у)) = J dR^zy,Z^dz.
?>і(*\У)
Следовательно,
JJ Rdxdy = JJ Rdxdy -JJ Rdxdy =
S S2 S1
=//^/7"^,=///-?^^,
D 4>\{*,V) V
Теорема 1 доказана.
Замечания. 1. Тем же способом, что и в случае формулы Грина, эту формулу можно распространить на случай областей V1 которые являются образом выпуклой области при некотором гладком отображении.
2. Ясно, что если V = ViUV2, где V\ и V2 удовлетворяют условиям теоремы 1 и соприкасаются по кусочно-гладкой границе, то и для V теорема 1 тоже верна.
3. Формуле Гаусса - Остроградского можно придать вид, аналогичный формулам Грина и Стокса, т.е.
JJ Pdy A dz + Qdz Adx + Rdx Ady = s
= JJJ(dP) AdyAdz+ (dQ) AdzAdx+ (dR) Adx A dy.
V
Но это требует введения некоторых новых понятий. В дальнейшем мы предполагаем доказать общую формулу указанного выше вида для пространства п измерений и поверхности размерности к < п. Она
625 называется общей формулой Стокса. Доказательство ее проводится по существу так же, как и формулы Гаусса - Остроградского. Правда, при этом в связи с согласованием ориентации поверхности и ее границы возникают некоторые новые сложности.
4. Что такое "внешняя нормаль" к кусочно-гладкой поверхности 5, которая является границей выпуклого пространственного тела V?
Если в точке f Є S существует вектор п, то из геометрических соображений ЯСНО, ЧТО n = (r»i, П2, Пз) — внешняя нормаль для верхней части S2 поверхности S, если выполняется условие пз > 0, а для нижней части Si поверхности S имеем условие пз <0.
Для нормали, отвечающей параметризации z = <p(x,y), имеем
1
«з = , == > о.
у/1 + + (^)2
Следовательно, параметризации z = <p(x,y) всегда отвечает "верхняя" сторона поверхности и потому при переходе к двойному интегралу в случае поверхности S2 мы берем знак + перед интегралом, а в случае поверхности Si — знак —.
Примеры. 1. Из теоремы 1 имеем следующее выражение для объема тела V через поверхностный интеграл по поверхности S = dV :
V = JJ xdy Adz = JJ ydz Adx = JJ zdx A dy.
5+ S+ 5+
Здесь поверхностные интегралы берутся по внешней стороне поверхности.
Отметим, что для определения внешней стороны поверхности S следует через точку на поверхности провести нормальную прямую к ней и в качестве направления внешней нормали к поверхности S выпуклого тела V взять то направление луча этой прямой с вершиной в данной точке, на котором не содержится других точек тела V.
2. Интеграл Гаусса. Пусть S — кусочно-гладкая, невырожденная, измеримая по Жордану, компактная поверхность. Пусть P — некоторая фиксированная точка, M — переменная точка на поверхности 5, f = г(Р, M) — радиус-вектор с начальной точкой P и концевой точкой М,п — внешняя нормаль к поверхности в точке М. Тогда имеем
4я", если P є V \ 5, если P G St если P ?. V.
{4тг,
о,
Рассмотрим сначала случай, когда точка P $ V \ S. Пусть точка M имеет координаты (x}y,z), а точка P — координаты (а, 6, с). Тогда
626 r = (я — а, у — 6, z — с), вектор нормали к поверхности в точке M равен n = (cos a, cos ?, cos 7). Следовательно,
(г, n) (X — a) cos а + (у — 6) cos ? + (z — с) cos 7 cos (r, n) = —
