Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
6. C1 (c2X) = c1c2X.
7. (c1 + с2) X = c1X + C2X
8. с (AT + К) = сX + с К.
Здесь AT, К, Z-—элементы линейного пространства; 1, C1, с2, с —числа.
Эти требования (называемые иначе аксиомами линейного пространства) весьма естественны и представляют собой формальное описание тех свойств действий сложения и умножения на число, которые неотъемлемо связывают с понятиями зтих действий, в каком бы обобщенном смысле они ни понимались. Действия, имеющие тот или иной физический смысл, трактуются как сложение й умножение на число именно в тех случаях, когда зти действия удовлетворяют требованиям 1—8.
Отметим некоторые следствия из этих аксиом.
а) Нулевой элемент 0 пространства единственен, т. е. существует только один элемент, удовлетворяющий аксиоме 2.
б) Для данного элемента AT существует единственный противоположный элемент.
в) Имеет смысл «вычитание», т. е. по данной сумме и одному из слагаемых всегда определяется второе слагаемое и при этом только одно. Именно: если AT + Z= Y, то Z=K+(—Л).
г) O-X=C-O = O.
д) Если сХ = 0, то или с = 0, или AT=O.
е) — AT= (—1)АТ.
Доказательства зтих следствий очень просты, и мы не будем на них останавливаться. В дальнейшем элементы линейного пространства мы будем называть векторами.
Линейная зависимость и независимость векторов. Перейдем теперь к важному понятию линейной зависимости и независимости векторов.
Линейной комбинацией векторов AT,, X2, ..., Xm называется вектор c1X1 +C2Ar2 +... +CmArm при некоторых численных значениях коэффи-пиентов C1, C2,..., Cm. Если среди векторов X1, X2,..., Xm найдется § 2. Линейное -пространство
49
хотя бы один, являющийся липейпой комбинацией остальпых, то векторы Xv X2, ..., Xm называются линейно-зависимыми. Если же ни одий из векторов X1, X2, ..., Xm но является линейной комбинацией остальных, то векторы X2,..., Xm называются линеппо-незаннсимымн-
Легко видеть, что ДЛЯ линейной независимости векторов X1, X2, . . .,Xm необходимо и достаточно, чтобы соотношение c1X1 -\-с2Х2-{- ... -\-сшХт=О
выполнялось только при C1=C2=-^=Cjjl = O.
Для векторов в обычном трехмерном пространстЬе понятия линейной зависимости и независимости имеют простой геометрический смысл.
Пусть имеются два вектора X1 н X2. Лппсйная зависимость их
„ • .. ^
означает, что один из векторов является «липеппоп комопнациеи» другого, т. е. просто отличается от пего численным множителем. Ого значит, что оба вектора укладываются па общей прямой, т. е. они имеют одинаковое пли противоположное направление.
Обратно, если два вектора укладываются на одной прямой, то Otra-лппепно-завпеимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов X1 и X2 означает, что эти векторы пе могут быть уложены на одну прямую; их направления существенно различны.
Рассмотрим теперь, что означает линоппая зависимость и независимость трех векторов. Допустим, что векторы Xj, X2 и X3 линейно-' зависимы, II положим для определенности, что вектор X;f является линейной комбинацией векторов X1 н X.,. Тогда X3, очевидно, расположен в плоскости, содержащей векторы X1 п X2, т. е. все три вектора Xt,> X0, X3 укладываются на одной плоскости. Легко видеть, что если векторы X1, X2, X3 лежат в одной плоскости, то они линейно-зависимы.-Действительно, если векторы A1 и X2 не лежат па одной прямой, то X3 можно разложить по Xt и X2, т. е. представить X3 в виде линейной комбинации X1 л X2- Если же X1 и X2 лежат на одной прямой, то уже X1 и X2 липейно-зависимы. 1
Итак, линейная зависимость трех векторов Xv X2, X3 равносильна-тому, что они лежат в одной плоскости. Следовательно, Xv X2, X3'¦ линейно-независимы в том и только в том случае, если они не укладываются на одной плоскости.
Четыре вектора в трехмерном пространстве всегда липейно-зависимы. Действительно, если векторы Xv Xi, X3 лпнеппо-зависимы, то при любом X4 векторы Xv X2, X3, Xi тоже линейно-зависимы. Кели же Xv Х.„ X3 линейно-независимы, то они не лежат в одной плоскости и любой вектор Xi можно разложить по Xv X2, X3, т. е. представить:', в виде их линейной комбинации.
Проведеиные рассуждения можно обобщить следующим образом.
В трехмерном пространстве векторы Xv X2, ..., Xk ли-
нейно-зависимы в том и только в том случае, если оии укладываются в пространство (прямая или плоскость) с числом измерений, меньшим к.
4 Зак. № 812 60
Глава XVI. Линейная алгебра
В дальнейшем, после строгого определения подпространства и размерности, мы увидпм, что и в общем случае линейная зависимость векторов X1, X2,..., Xk равносильна тому, что они укладываются в пространство, размерность которого меньше к, т. е. «геометрический»-смысл линейной зависимости остается тот же самый, что для векторов в трехмерном пространстве.
В теории линейных пространств играет существенную роль следую--щая теорема. Если векторы X1, X2, ..., Xm являются линейными комбинациями векторов Y1, Y2, ..., Yk и т > к, то векторы X^, X2i ...,Xm липейно-зависимы (теорема о линейной зависимости линейных комбинаций).
Для A = 1 теорема очевидна. Для к^> 1 теорема легко доказывается методом математической индукции по числу к.
