Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
.%</(») <&« (1 = 0,1,...,и — 1),
то положим в этой точке а если в точке х
f(x) = y, = B,
то положим
9(Х) = У«-
Построение функции <р(ж) показано на рис. 3. 3 Зак. № 812 34
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Согласно построению функции <р (х), в любой точке отрезка [а, 6]
1/(1)-<рИК?-
Кроме того, так как функция <р (х) принимает лишь конечное число значений у0, yv ...,Ijtlt то ее можно записать в виде
T (^) = 2/о * 9о (-^) + 2/1 "PiCr)+ ••• +У» -%(х)> (?)
где cpf (г) — характеристическая функция того мпожества, где <р (x) = yit т. е. у( ^/ (х) уі+1 (в каждой точке x?[at ?>J лишь одно слагаемое
в правой части формулы (7) отлично от нуля!) Этим наше предложение установлено.
Определение интеграла Лебега. Переходим к определению иитеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция <р(г) мало отличается от функции /(х), то в качестве приближенного значения интеграла от функции f(x) можно принять интеграл от функции <р(т). Но, замечая, что функции (х) являются характеристическими фупкциями множеств, и пользуясь 'формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем Ь ь
J<p(:r)dx= J {й,?о(г) + Уі?іСО+ ••• +У»<Р»М} dx =
я а
Ь Ь ь
— У о J ToWrfir + 2/і JfPiOr)0^+ ••• +Уп j <ss>„{x)dx =
Л а а
= Уоїео + Уі?-еі + • • • +Vn'J-e«, § 6. Интеграл Лебега
35
где [ле,. есть мера множества е,- тех х, для которых
&</(*)<&+!•
Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции f(x) является «интегральная сумма Лебега»
S = V^e0 + -f- ... + y„[J-en.
Б соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега S, когда
max І Уі+і — Уі I О,
что соответствует равномерной сходимости функций <p(z) к функции f (х).
Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т. е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.
Свойства интеграла Лебега. Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т. д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает: если измеримые функции f„(x) ограничены в совокупности:
I/-(S)I <К
для любого п и любого x из отрезка fa, і] и последовательность {/„(х)} сходится почти всюду к функции f(x), TO
Ь ь
[ f„(x)dx-+ ^ f(x)dx.
a а
Ипыми словами, интеграл Лебега допускает безотказпый переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств (ем. главу XIX) и других разделах математики.
Приведем пример. Пусть f(x) — периодическая функция с периодом 2-й
оэ
у ^ (ап cos пх -(- b„ sin пх)
M=I
3* 36
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
— ее ряд Фурье. Если, например, функция f(x) непрерывна, то, как нетрудно показать,
2и 2 е0
If f (X) Clx = -5-+ 2 К +(8)
O и=1
Это тождество носит название равенства Парсеваля. Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля (8)? Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (8) выполняется в том и только в том случае, если функция f(x) измерима на отрезке [0, 2-] и функция f(x) интегрируема по Лебегу на зтом отрезке.
ЛИТЕРАТУРА Популярная литература Лебег А. Об измерении величии. ГОНТИ, 1938.
Маркушевич А. И. Действительные числа и основные принципы теории пределов. Учпедгиз, 1948.
Университетские учебники
Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. Гостех-издат, 1948.
Александров П. С. и Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций
действительного переменного. Изд. 3-е, ГОНТИ, 1938. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. Гостехиздат, 1950.
Специальные монографии
Лебег А. Интегрирование и отыскание примитивных. ГТТИ, 1934. Хаусдорф Ф. Теория множеств. ГОНТИ, 1937. Глава XVI ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. ПРЕДМЕТ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ АППАРАТ
Линейные функции и матрицы. Среди функций от одной переменной наиболее простой является так называемая линейная функция 1(х) = = ах-\-Ъ. Ее графиком является, как известно, простейшая из линий—¦ прямая.
Вместе с тем линейная функция — одна из важнейших. Дело в том, что всякая «гладкая» линия на малом участке похожа на прямую, и чем меньше участок кривой, тем теснее она примыкает к прямой линии. На языке теории функций это значит, что любая «гладкая» (непрерывно дифференцируемая) функция при малом изменении независимой переменной близка к линейной функции. Линейная функция может быть охарактеризована тем, что ее приращение пропорционально приращению независимой переменной. В самом деле: M(х) = I (хь-f- Дж) — — I (.г0) = а (х0 -)- \х) Ь — (ах0-\-Ь) = а Дж. Обратно, если Д/(ж) = аДж, то I (х) — 1(х0) = а(х— .T0) и I (.г) = ах -j-1 (х0) — ах0 = ах -j- Ь, где 6 = = I (х0) — аж0. Но из дифференциального исчисления мы знаем, что в приращении любой дифференцируемой функции естественным образом выделяется главная часть, так называемый дифференциал функции, пропорциональный приращению независимой переменной, и приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем приращение независимой переменной. Таким образом дифференцируемая функция при бесконечно малом изменении независимой переменной действительно близка к линейной функции с точностью до бесконечно малой более высокого порядка.
