Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F — замкнутое множество. Интервал (а, Ь), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки а и Ь принадлежат F, называется смежным интервалом множества F. К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы (а, со) или (—оо, Ъ), если точка а или точка Ъ принадлежит множеству F, а сами интервалы ¦с F не пересекаются. Покажем, что если точка х не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов. • 24
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Обозначим через Fs часть множества F, расположенную правее точки х. Так как сама точка х не принадлежит множеству F, то Fx можно представить в форме пересечения
Каждое из множеств F и [х, оо) замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество Fx замкнуто. Если множество Fx пусто, то весь полуинтервал [х, оо) пе принадлежит множеству F. Допустим теперь, что мпожество Fx не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале \х, со), то оно ограничено снизу. Обозначим через Ь его нижнюю грань. Согласно предложению 3, b?Fx, а значит b?F. Далее, так как b есть нижняя грань множества Fx, то полуинтервал [ж, Ъ), лежащий левее точки Ъ, не содержит точек множества Fx и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (х, Ь), не содержащий точек множества F, причем либо Ъ = оо, либо точка Ъ принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (а, х], не содержащий точек множества F, причем либо а =—оо, либо а ? F. Теперь ясно, что интервал (а, Ь) содержит точку х и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если (alf bj) и (a2, b2) — два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо пе пересекаются.
Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой — счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счетно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.
В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).
Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.
Канторово совершенное множество. Построим одно специальное замкнутое множество, обладающее рядом замечательных свойств. Прежде всего удалим [из прямой несобственные интервалы (—оо, 0) и (1, оо). После этой операции у нас останется отрезок [О, 1]. Далее, удалим
Fx = F- [х, оо).
из этого отрезка интервал
составляющий его среднюю треть. § 4. Точечные множества
25.;
Из каждого из оставшихся двух отрезков J и lj удалим
его среднюю треть. Этот процесс удаления средних третей у остающихся отрезков продолжим неограниченно. Множество точек на прямой, остающееся после удаления всех этих интервалов, называется канторовым совершенным множеством; мы будем обозначать его буквой Р.
Рассмотрим некоторые свойства этого множества. Множество P замкнуто, так как оно образуется путем удаления из прямой некоторого множества непересекающихся интервалов. Множество P не пустое во всяком случае в нем содержатся концы всех выброшенных интервалов.
Замкнутое множество F называется совершенным, если оно не содержит изолированных точек, т. е. если каждая его точка является предельной точкой. Покажем, что множество P совершенно. Действительно, если бы некоторая точка х была изолированной точкой множества Р, то она служила бы общим концом двух смежных интервалов этого множества. Но, согласно построению, смежные интервалы множества P не имеют общих концов.
Множество P не содержит ни одного интервала. В самом деле, допустим, что некоторый интервал S целиком принадлежит множеству/5. Тогда он целиком принадлежит одному из отрезкоц, получающихся на ге-м шаге построения множества Р. Но это невозможно, так как при п —* OO длины этих отрезков стремятся к нулю.
Можно показать, что множество P имеет мощность континуума. В частности, отсюда следует, что канторово совершенное множество содержит, кроме концов смежных интервалов, еще и другие точки. Действительно, концы смежных интервалов образуют лишь счетное множество.
Разнообразные типы точечных множеств постоянно встречаются в самых различных разделах математики, и знание их свойств совершенно необходимо при исследовании многих математических проблем. Особенпо большое значение имеет теория точечных множеств для математического анализа и топологии.
