Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Базис и размерность пространства. В трехмерном пространстве-любые три вектора X1, X2, X3, не лежащие в одной плоскости (т. е. линейно-независимые), образуют базис этого пространства, это значит, что любой вектор пространства может быть разложен по векторам Xlt' X2, X3, т. е. представлен в виде их линейной комбинации.
Общие линейные векторные пространства могут1 быть резко разделены на два типа.
Возможпо, что в пространстве существует сколь угодно большое-число линейно-независимых векторов. Такие пространства называются бесконечномерными и их изучение выходит за рамки линейной алгебры, являясь предметом специальной математической дисциплины — функционального анализа (см. главу XIX).
Линейное пространство называется конечномерным, если в нем существует конечная граница для числа линейно-независимых векторов, т. е. такое число п, что в пространстве существует п линейно-независимых векторов, но любые векторы в числе, большем п, линейно-зависимы. Число п называется размерностью или числом измерений пространства.
Так, пространство векторов обычного геометрического трехмерного-пространства трехмерно и в смысле данного общего определения. Действительно, в трехмерном геометрическом пространстве существует сколько угодно троек липейно-независимых векторов, но любые четыре-вектора уже линейно-зависимы.
Пространство n-членных столбцов n-мерно в смысле данного определения. Действительно, в этом пространстве существует п линейно-независимых векторов, например векторы
(2) § 2. Линейное -пространство
51
но веянии вектор
(
)
этого пространства является их линеиной ком-
бинацией, именно: X1^1-)-х2е2-(-...-j-хяея. Следовательно, в силу теоремы о линейной зависимости линейных комбинаций, любые векторы в числе, большем п, линейно-завпеимы.
Многочлены от одной переменной образуют линейное пространство. В самом деле, для многочленов естественным образом определены действия сложения и умножения на число, удовлетворяющие аксиомам 1—8« Однако это пространство бесконечномерно, ибо Лекторы 1, х, ..., xN лпнейно-пезависимы при любом N. Совокупность же многочленов, степени которых не превосходят данного числа N1 образуют конечномерное пространство, размерность которого равна iV-f-1. Действительно, векторы 1, х, ..., xN лпнейно-независимы и число их равно A'-j-l. Всякий же многочлен, степень которого не превосходит N, является линейной комбинацией 1, х, ..., ху, и, следовательно,7 по той же теореме, о линейной зависимости любые многочлены степени ^ N, взятые в числе, большем iV-j-1, линейно-зависимы.
Введем теперь важное понятие базиса для /г-мерного пространства. Базисом называется такая совокупность линейно-независимых векторов пространства, что любой вектор пространства является линейпой комбинацией векторов этой совокупности. Так, в пространстве столбцов базисом является, например, совокупность векторов (2). В пространстве многочленов степени ^ N за базис можно принять «векторы» 1, х, ..., xN. В трехмерном геометрическом пространстве роль базиса играет любая тройка линейпо-независимых векторов.
В л-мерном линейном пространстве любая совокупность из п линейно-независимых векторов (а существование хотя бы одной такой совокупности содержится в определении /г-мерного пространства) образует базис пространства. Действительно, пусть C1, е2, ..., еп — линейно-независимые векторы /г-мерного линейного пространства и X—какой-либо вектор пространства. Тогда векторы X, ev ..., е„ линейно-зависимы (ибо их число больше п), т. е. найдутся числа с, C1, с2, ..., с„, не равные нулю одновременно, такие, что сХ-^-с^-}-...-}-с„е„ = 0. При этом сф-0, ибо если бы с = 0, векторы ег, е2, ..., еп были бы линейно-зависимыми. Следовательно, X= — --^1— ...—— е„, т. е. любой вектор
С с
пространства есть линейная комбинация векторов ev е2, ..., е„.
Любой базис /г-мерного линейного пространства состоит ровно из п векторов. Действительно, векторы базиса линейно-независимы, и потому число их не может быть больше п. С другой стороны, пусть ех, е2, ..., Єк какой-либо базис n-мерного пространства. Уже установлено, Глава XVI, Л.инбйнм алгебра
что к ^ п. Но любой вектор пространства, по определению базиса, является линейной комбинацией векторов ev e.v ..., ек, и, в силу теоремы ^o линейной зависимости ллпойных 'комбинаций, любые векторы, взятые в числе, большем к, лпаэнно-зависимы, откуда следует, что размерность пространства п не больше числа векторов базиса к. Итак, к = я, что и требовалось доказать.
Введем теперь координаты вектора относительно данного базиса є,, е2, еп. Как ужо было сказано выше, любой вектор X яплястся линейной комбинацией векторов базиса. Такое представление единственно. Действительно, пусть вектор X выражается через базис elt eit ..ен двумя способами:
X= X^el + х2е2 + ... + х„еп, Х = х\ех-\-х'гег + ...
Тогда (X1 — х\) е, + (X2 — Sq) е2 + • • • + (Х„-X1') еп = 0, отгёуда следует, B силу линейной независимости е,, е2, . . ., еа, ЧТО Z = Xil • . • )Х)( = х'п.
Коэффициенты X1, х2, ..., х„ в разложении произвольного вектора X через векторы базиса называются координатами вектора X в этом базисе. Таким образом, любому вектору, если только выбран базис пространства, естественным образом сопоставляется строка (или столбец) яз его координат, и наоборот: любая строка (или столбец) из п чисел может рассматриваться как совокупность координат некоторого вектора.
