Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Перечислим основные свойства действий над матрицами:
1. AArB = B-IrA (переместительный закон для сложения).
2. (А -)- В) -)- С = А -)- (2?-}- С) (сочетательный закон для сложения).
3. с (А В) = с А сВ ) (распределительные законы при умиоже-
о/ / i_ г \ л_г Л Л-х А ( нии на число- Здесь с, Cj, с2 —числа,
\С1~Г cZJjl — ClA-^-C2A j а не матрицы).
4. (C1C2) А = с, (с2 А) (сочетательный закон умножения на число).
/о...о\
5. Существует «нулевая» матрица O = I ... J такая, что А-\-
Vo... ОJ
Ц- O = А при любой матрице А.
6. C-O = O-A = O; обратно, если сA = O1 то с = 0 или A =O (здесь с — число). ,44
Глава XVI. Линейная алгебра
7. Для любой матрицы А существует противоположная матрица —А, т. е. такая, что -4-J~(—А) = О.
8. (А -)- В) • С = AC -(- ВС I (распределительные законы для сложения
8'. С (А + В) = С А + CB I и Умножения матРи«) •
9. (AB)C = A(BC) (сочетательный закон для умножения).
10. (сА)В = А(сВ) = с(АВ).
Эти свойства имеют место не только для квадратных, но и для любых прямоугольных матриц, с единственной оговоркой, что действия, входящие в каждую из перечисленных формул, должны быть определены. Для квадратных матриц одинакового порядка зга оговорка естественно отпадает.
Приведенные свойства действий аналогичны свойствам действий над числами.
Укажем теперь на две особенности действий над матрицами.
Во-первых, при умножении матриц, даже квадратных, перемести-тельный закон может не иметь места, т. е. AB не всегда равно BA. Например:
3 —2\ /1 2\ /—3 1 4/ \3 2/ \ И 1 2\ / 3 — 2\ /1 6 3 2/ \—1 4/ = \7 2
Во-вторых, известно, что произведение двух чисел равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Эта теорема является, как известно, основной в теории алгебраических уравнений. При умножении матриц она оказывается неверной. Именно, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя ни один из сомножителей не равен нулевой матрице. Например:
'1 IW 1 1\ /0 O^ vi і/ V-I — 1/ \0 Oy
Отметим еще одно свойство умножения матриц. Матрица А будет называться транспонированной к матрице А, если в каждой строке А расположить элементы соответствующего столбца матрицы А с сохранением порядка. Например, для матрицы
/1 2\ A = I 3 4 \5 6У
транспонированной будет матрица
'I 3 5 ,2 4 6 I
§ 1. Предмет линейной алгебры и ее аппарат
45
Действие умножения матриц связано с операцией транспонирования формулой
AB = BA,
которая легко проверяется на основании правила умножения матриц.
Теория матриц составляет важную и неотъемлемую часть линейной алгебры, играя роль аппарата при постановке и решении ее задач.
Геометрические аналогии в линейной алгебре. Кроме описанного выше источника возникновения идей-и задач линейной алгебры — потребностей математического анализа, геометрия, в частности аналитическая геометрия, тоже нуждается в развитии линейной алгебры и со своей стороны обогащает ее важными йдеями и аналогиями. Известно, что аналитическая геометрия на плоскости и в еще большей мере в пространстве, в части, касающейся теории прямых и плоскостей, использует в простейшей форме аппарат линейной алгебры. Действие тельно, прямая линия на плоскости задается линейным уравнением с двумя переменными, которое связывает две координаты любой точки прямой. Плоскость в пространстве задается линейным уравнением с тремя переменными (координатами произвольной точки зтой плоскости), прямая в пространстве — двумя линейными уравнениями.
Известно, что особенная простота и ясность вносятся в аналитическую геометрию, а следовательно, и в теорию простейших систем линейных уравнений, если использовать понятие вектора. Подобную же простоту и ясность вносит в линейную алгебру, в частности в общую теорию систем линейных уравнений, использование понятия вектора в некотором обобщенном смысле. Путь для этого обобщения следующий. Вектор (в пространстве) задается тремя числами — тремя проекциями на оси координат. Каждая тройка действительных чисел в свою очередь может быть изображена геометрически в виде вектора (в пространстве).
Для векторов определены действия сложения («по правилу парал-лелограма») и умножения на число. Эти действия определяются в соответствии с аналогичными действиями над силами, скоростями, ускорениями и другими физическими величинами, изображаемыми посредством векторов.
Если векторы задаются своими координатами (т. е. проекциями на координатные оси), то действиям сложения и умножения на число, производимым над векторами, соответствуют одноименные действия над строками (или столбцами) из их координат.
Таким образом, строку или столбец из трех элементов удобно геометрически интерпретировать как вектор в трехмерном пространстве, при этом основные действия над «строками» (или «столбцами») интерпретируются соответствующими действиями над векторами в пространстве, так что алгебра строк (или столбцов) из трех элементов формально ,46
Глава XVI. Линейная алгебра
ничем пе отличается от алгебры векторов трехмерного пространства. Это обстоятельство делает естественным введение в линейную алгебру геометрической терминологии.
