Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Действиям сложения векторов и умножения вектора па число соответствуют одноименные действия пад строками (пли столбцами) из координат.
Поэтому любое /1-мерпое липейпое пространство, независимо от природы его элементов (будут они функциями, матрицами, какнми-лпбо физическими величинами и т. д.), по отношению к этим действиям ничем не отличается от пространства строк (или столбцов). Таким образом, как уже было сказано раньше, обобщенный, аксиоматический подход к понятию линейного пространства пе впоент никаких усложнений по сравнению с трактовкой пространства как пространства строк, но значительно расширяет круг приложений этого понятия.
Тождественность свойств двух совокупностей объектов по отношению к заданной системе действий (или каких-либо других отиошений между элементами) называется в математике изоморфизмом. Точное определение изоморфизма алгебраических систем будет дано в главе XX. Пользуясь этим термином, мы можем сказать, что все я-мериые линейные, пространства, независимо от,природы их элементов, изоморфны друг; другу и изоморфны единой модели — пространству строк.
Подпространства. Совокупность векторов «-мерного линейного пространства Rn, удовлетворяющая требованию, что каждая линейиаи ком- § 2. Линейное -пространство 53
бинация любых векторов рассматриваемой совокупности тоже принадлежит к ней, называется подпространством этого пространства. Очевидно, что подпространство пространства Rn само является линейным пространством и, следовательно, имеет базис'и размерность. Очевидно также, что размерность подпространства не превосходит размерности всего пространства и может равняться ей в том и только D том случае, когда подпространство совпадает со всем пространством.
Примерами подпространств трехмерного векторного пространства могут служить рассматриваемые с точностью- до переноса плоскости и-прямые, точнее, совокупности всех векторов, укладывающихся на одной плоскости или на одной прямой.
Наиболее часто приходится рассматривать подпространства, «натянутые» на систему векторов. Эти подпространства определяются следующим образом. Пусть дана система линейно-независимых или зависимых векторов Xv X2,..., Xm пространства Ru. Тогда совокупность всех линейных комбинаций этих векторов [сАХл-{-с2Х2-\-...-\-стХт) образует подпространство пространства Rn, которое и называется подпространством, натянутым па векторы X1, X2, ..., X1,,.
Размерность такого подпространства называется рангом системы векторов Xv X2, ..., Xm. Легко видеть, что ранг системы векторов равен максимальному числу лннейно-независимых векторов, содержащихся в этой системе.
«Совокупность», состоящая только из нулевого вектора, формальпо удовлетворяет требованиям, предъявляемым к подпространству. Размер-' ность этого подпространства считается равной нулю.
Если даны два подпространства пространства R„, то из них естественным образом конструируются еще два подпространства — их векторная сумма и пересечение.
Векторной суммой двух подпространств PnQ называется совокупность всех сумм векторов, принадлежащих подпространствам P и Q. Векторную сумму можно рассматривать также как подпространство, натянутое на объединение базисов подпространств P и Q.
Пересечением двух подпространств называется совокупность всех векторов, принадлежащих обоим подпространствам. Например, векторной суммой двух плоскостей (т. е. двумерных векторных подпространств) в обычном трехмерном пространстве является все пространство (если только плоскости не совпадают), а пересечением — прямая линия (при той же оговорке).
Размерности р и q двух данных подпространств, размерность t пх векторной суммы и размерность s их пересечения удовлетворяют следующему интересному соотношению:
Доказательство этого утверждения мы опускаем. ,54
Глава XVI. Линейная алгебра
Из этого соотношения можно сделать некоторые выводы, касающиеся пересечения подпространств в частных случаях. Например, две несовпадающие плоскости (т. е. двумерные подпространства) в пространстве четырех измерений пересекаются, вообще говоря, только в точке (размерность их пересечения равна нулю) и две плоскости пересекаются но прямой только в том случае, если их векторная сумма трехмерна, т. е. если обе плоскости укладываются в некоторое трехмерное подпространство. Действительно, в этом случае t-\-s = = 2 -f- 2 = 4, откуда следует, что S=I только при? = 3.
Комплексное линейное пространство. При описании пространства строк и общего линейного пространства мы не уточвяли, о каких числах идет речь, когда определяется действие умножения вектора на число. Так как мы исходили из обобщения обычных векторов, т. е. направленных отрезков в геометрическом трехмерном пространстве, то мы имели в виду любые действительные числа. Построенные таким образом линейные пространства, называемые действительными линейными пространствами, наиболее естественным образом обобщают трехмерное пространство обычных векторов. Однако для многих задач современной математики оказывается полезным рассмотрение комплексного линейного пространства. Под этим термином понимается совокупность объектов, для которых определепы действия сложения и умножения на любое" комплексное число, причем зти действия удовлетворяют всем аксиомам 1—8. Примером комплексного пространства может служить пространство строк, элементами которых являются любые комплексные числа.
