Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
X=X1C1 + х2е2 + ... + х„е„ и Y = у^e1 + y2e2 + ... + Упвп, то по свойству скалярного произведения
XY = X1 Ij^e1 + X^e1 е2 + ... + X1^e1 е„ +
+ . . . + ХіУп^2Єп +
~"Ь хпЯі&пЄі -J- хпу2епе2 —I— ... I xnyne„e„ —
= x1ij1 + x2ij2 -j-...-}- xnyn, § 2. Линейное -пространство
59
-гак как ^efc = О при і =^ А и е{е{ — | е{ |2 = 1 при любом і = 1, 2, ..., п.
В частности, X • Х = х*-\-а%-\- ...
Таким образом, длина вектора и скалярное произведение выражаются через координаты ортонормалыюго базиса но тем же формулам, что и в пространстве строк.
Переход от одной из моделей эвклидова пространства — пространства строк — к общему аксиоматически определенному эвклидову пространству не влечет за собой никаких осложнений, но только расширяет область приложения теории.
Рассмотрим еще вопрос об ортогональном проектировании векторов на подпространство. Пусть Rn— некоторое «-мерное эвклидово пространство и Pm — его яг-мерное подпространство. Пусть, далее, ev е2, ... • • •> f\> • • • і f„—m — ортонормальный базис Rv, включающий ортонор-мальиый базис подпространства Pm. Подпространство (?„_„, натянутое на векторы fv f2, ..., fn^.m, называется ортогонально-дополнительным к подпространству Pm. Его размерность равна п — т. Ортогонально-дополнительное подпространство Qn-^n может быть охарактеризовано как совокупность всех векторов, ортогональных ко всем векторам подпространства Pm.
Любой вектор Z, принадлежащий Rn, может быть однозначно пред-ставлеп в виде суммы векторов X и У, из которых один принадлежит подпространству Pml другой — подпространству Qn—m. Это ясно из возможности и однозначности представления вектора Z в виде
Z = X1^1 ) ... —I хтет + Vif1jC -+У п—m Л —т>
так что X = X^el+... + хтет, Y = Vifi + ... +У»-тЛ-ш-
Вектор X называется ортогональной проекцией вектора Z на Pm.
Унитарное пространство. Понятия длины вектора и скалярного ироизведения векторов могут быть определены и в комплексном пространстве. В основу попрежнему кладется понятие скалярного умножения, которое определяется следующим образом. Каждой паре X и У векторов комплексного пространства сопоставляется комплексное (не обязательно действительное) число, называемое их скалярным произведением X • Y. Действие скалярного умножения должно удовлетворять следующим аксиомам:
1". X-X— действительное и положительное при X^=O, 0-0 = 0.
2". Y- X= (Х - Y)'.
Здесь штрих означает переход к комплексно-сопряженному числу.
3". (сХ) • Y = с (X • Y) при любом комплексном с.
4". (Хх-\-Хг) • Y~ X1 • Y X2 • Y (распределительный закон).
В пространстве строк с комплексными элементами за скалярное произведение векторов (х1( ..., Xn) и (yv ..., у„) можно принять число JC1Jfj . ..-)- хиу'и. Легко проверить, что при таком определении все аксиомы 1"—4* выполнены. ,60
Глава XVI. Линейная алгебра
За длину вектора принимают число \/Х • X. Понятие угла между векторами не определяется.
Комплексиое линейное пространство со скалярным произведением, удовлетворяющим аксиомам 1"—4", называется унитарным пространством,
§ 3. системы линейных уравнений
Системы двух уравнений с двумя неизвестными п трех уравнений с тремя неизвестными. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными выглядит в общем виде так:
aIx -^blU = C11
4х + Ь2 У = cI'
Для решепия этой системы умножим первое уравнепяе па 62, вт0~ рое на —bl и сложим. Получим
(fljfcj — OiUl) X = ClUi — C2U1.
Аналогичным образом, умножив первое уравнение па —а2, второе на а, п сложив, получим
(ахЬ2— а2&,) у = O1C2 — а2сГ
Из этпх равепств легко определяются х и у, если только выражение а,62— a.,U1, оказывающееся коэффициентом при неизвестных х и Ijt отлично от пуля. Это выражение называется определителем матрицы
(а' 6.')' °6pa30Ba,IH0" коэффициентами системы. Определитель обозна-
а' 1. Из данного определения следует, что определитель
aI "2 I
чается так: вычисляется по схеме
*х
пе требующей дальпеиших пояспепип.
Вернемся к решению системы. Выражения с,62— CiU1 и а,с2— O2C1, согласно данному определению, тоже представляют собой определителя, с, U1
именно:
C2 Ui
Ч С2
Таким образом, если определитель Ъ
I aI °2
отличен от нуля, мы получаем следующие формулы для решения системы:
і «1- i i "i с1 l
X=^A-J (4)
J Д] 6] Д| w
I а2 Ъ21 Ia2 Ь.
'21 § 3. Системы линейных уравнений
61!
Строго говоря, проведенные рассуждения пе полпы. Действия над уравнепиямн, которые мы производили при выводе формул для решения системы, были осмыслены только в предположении, что XW у уже представляют собой числа, образующие решение системы. Логическая сущность проведенного рассуждения такова: если определитель из коэффициентов системы но равен нулю и рзшзнне системы существует, то оно вычисляется по формулам (4). Поэтому еще необходимо установить, что найденные значения для неизвестных действительно удовлетворяют обоим уравнениям системы. Это делается без труда.
Итак, если определитель матрицы пз коэффициентов системы отличен от пуля, то система имеет единственное решение, которое дается формулами (4).
