Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для системы трех уравнений с тремя пепзвсстнымп
ахх Ьху -j- c,z = dlt а.гх + Ь.,у -}- c2z = cl2, a^ + b.jj +CjZ = U3
петрудпо провести апалогпчные рассужденпя п выкладкп — для этого достаточно сложить уравнения, умиожпв их предиарптельно на такие множители, чтобы после сложения уничтожались сразу два неизвестных. JJ качестве множителей для уничтожения неизвестных у и z следует взять Ьгс3-Ь.ЛС2, L3C1-bLC3 ii bLc2— &2с,, что легко проверить вычислением.
В результате получится, что если выражение
отлпчпо от нуля, то система имеет едппствепное решение, получаемое по формулам
где A1, A2, A3 — выражеппя, получающиеся из А посредством замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами. Выражение А называется определителем матрицы
А = aLb2c3 — aLb3c2 + CtJj3Cl — a2bLc3 + O3U1C2 — ^b2C1
в обозначается через
2 "і l2
a, U- с, ,62
Глава XVI. Линейная алгебра
Для вычисления определителя удобна следующая схема:
На первой из этих схем соединены линиями (диагональ и два треугольника) места, где находятся элементы, произведения которых входят в состав определителя со знаком плюс; на второй схеме — то же для слагаемых, входящих в состав определителя со знаком минус.
Мы получили для систем двух уравнений с двумя неизвестными и трех уравнений с тремя неизвестными совершенно сходные результаты. В обоих случаях система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля. Формулы для решений тоже аналогичны: в знаменателе каждой из неизвестных находится определитель матрицы коэффициентов, а в числителях — определители матриц, получающихся из матриц коэффициентов заменой коэффициентов при вычисляемой неизвестной свободными, членами.
Непосредственное обобщение этих результатов па системы п уравнений с п неизвестными при любом п затруднительно. Это сравнительно легко удается сделать косвенными средствами: сперва обобщить понятие определителя на квадратные матрицы любого норядка и, изучив свойства определителей, применить их теорию к исследованию систем.
Определитель TL-TO порядка. Рассматривая развернутое выражение для определителей
A1 Ьх а, 6,
= а,62 —
O1 Ъх C1 а2 С2
6о С,
3 ь3
; яАсз — аАс2 + а2^зс1 — аФ\сг + аФ\Ч — азЬ2с1<
замечаем, что в каждое слагаемое входят в качестве сомножителей но одному элемепту из каждой строки и по одному из каждого столбца определителя, причем всевозможные произведения этого вида входят в состав определителя со знаком плюс или минус. Это свойство полагается в основу обобщения понятия определителя на квадратные матрицы любого норядка. Именно: определителем квадратной матрицы /г-го норядка или, короче, определителем п-го порядка называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых но одному из каждой строки и по одному из каждого столбца, причем полученные произведения снабжены знаками плюс и минус по некоторому вполне определенному правилу. Это правило вводится § 3. Системы линейных уравнений
63
довольно сложным образом, и мы не будем останавливаться на его формулировке. Существенно отметить, что оно устанавливается так, что обеспечивается следующее важнейшее основное свойство определителя:
1. При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.
Для определителя 2 и 3-го порядков это свойство легко проверяется непосредственным вычислением. В общем случае оно доказывается на основе не сформулированного нами здесь правила знаков.
Определители обладают целым рядом других замечательных свойств,
\
которые дают возможность с успехом использовать определители в разнообразных теоретических и численных расчетах, несмотря на чрезвычайную громоздкость определителя: ведь определитель п-го порядка содержит, как нетрудно видеть, и! слагаемых, каждое слагаемое состоит из п сомножителей и слагаемые снабжены знаками по некоторому сложному правилу.
Переходим к перечислению основных свойств определителей, не останавливаясь на их подробных доказательствах.
Первое из этих свойств уже сформулировапо выше.
2. Определитель не меняется при транспонировании его матрицы, т. е. при замене строк на столбцы с сохранением порядка.
Доказательство основано на подробном исследовании правила расстановки знаков в слагаемых определителя. Это свойство дает возможность всякое утверждение, касающееся строк определителя, перенести на столбцы.
3. Определитель есть линейная функция от элементов какой-либо-его строки (или столбца). Подробнее
O11 . . «In
ап . = ^ilAil + ai2iAi2 + ... + (IinAini (5)
ап • • апп
где Aiv Ai2, ...,Ain представляют собой выражения, не зависящие от элементов г-й строки.
Это свойство с очевидностью следует из того, что каждое слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждой, в частности г-й, строки.
Равенство (5) называется разложением определителя по элементам ї-й строки, а коэффициенты Ail, Ai2, ..., Ain называются алгебраическими дополнениями элементов aiv ai2, ..., аіп в определителе.
