Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 30

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 145 >> Следующая


Ух — апх1 + • • • + ащХп>

Уг = aZXxI • ¦ • а2«Хп> (Л Л \

Уп-aKIxX • • • "4"" аппхп'

и в дальнейшем, говоря о линейных преобразованиях, мы всегда будем подразумевать однородные преобразования.

Линейные преобразования «-мерного пространства могут быть также определены своими внутренними свойствами, помимо формул (И), связывающих координаты соответствующих точек. Такое бескоординатное определение понятия линейного преобразования полезно тем, что оно не зависит от выбора базиса. Это определение состоит в следующем.

Линейное преобразование /г-мерного линейного пространства есть функция Y = A(X), аргумент X и значения Y которой являются векторами. Функция эта удовлетворяет требованию линейности

A (C1X1 + C2Xz) = c1A (X1) + c2A (X2). (12)

В дальнейшем, говоря о линейном преобразовании пространства, мы будем его понимать именно в смысле этого определения.

Это определение равносильно предыдущему — координатному. Действительно, функция Y = A(X), сопоставляющая вектор Xc координатами X1, X2.....хп вектор Y с координатами ух, у2, ...,уп так, что

при этом координаты ?/,, у2,...,у„ выражаются через координаты X1, х2, ..., хп в виде линейных однородных функций, очевидно, удовлетворяет требованию (12). Обратно, если функция Y = A(X) удовлетворяет требованию (12) и ех, е2,...,е„— какой-либо базис пространства, то A (X^el + х2е2 -)-...+ хпеп) = X1A (е,) + X2A (е2) + ... -f хпА (еп). Обозначим координаты (в том же базисе) вектора A (ej) через а у, ..., а„/, / = 1, ..., п. Тогда координаты вектора Y = A(X) будут

У1 = ах\Х1 а12Х2 ~Ь • • • а\к&пі

У г — а2\Х\ ~Ь а22х2 • • ¦ а2ПХп>

Уп = апхх1 ап9Х2 "I- • • - ~Ь атХп¦ § 4. Линейные преобразования 75

Таким образом,' каждому линейному преобразованию линейного пространства соответствует относительно данного базиса некоторая квадратная матрица. Само преобразование записывается на языке матриц в виде Y=AX. Здесь X — столбец из координат исходного вектора, Y — столбец из координат преобразованного вектора, А — матрица коэффициентов преобразования. Столбцы матрицы А образованы координатами тех векторов, в которые преобразуются векторы базиса. В соответствии с матричной записью мы будем в дальнейшем и само линейное преобразование часто записывать в виде Y = AX, опуская скобки.

Из формулы

A (X^e1 + х2е2 + ... -г х„еп) = X1A (е,) -f X2A (е2) + ... + х„А (е„)

следует, что все пространство при линейном преобразовании превращается в подпространство, натянутое на векторы А (е,).....А (ек). Размерность этого подпространства равна рангу системы векторов А (ех), А (е2), . .., А (-Є„), или, что то же самое, рангу матрицы, составленной из их координат, т. е. рангу матрицы А, сопоставляемой преобразованию. Подпространство это совпадает со всем пространством в том и только в том случае, когда ранг матрицы А равен п, т. е. когда определитель матрицы А отличен от нуля. В этом случае линейное преобразование называется неособенным или невырожденным.

Из теории систем линейных уравнений мы знаем, что невырожденные преобразования однозначно обратимы, и координаты исходного вектора выражаются через координаты преобразованного по формуле X = A-1Y.

Преобразование, матрица которого имеет равный нулю определитель, называется особенным или вырожденным. Вырожденное преобразование необратимо. Это следует из теории линейных уравнений или более наглядно из того, что оно преобразует все пространство в его часть.

Примером невырожденного преобразования может служить в первую очередь единичное преобразование, преобразующее все векторы в себя. Матрицей единичного преобразования в любом базисе является единичная матрица Е.

Невырожденными являются также преобразования подобия, состоящие в том, что все векторы пространства умножаются на одно и то же число. Матрица преобразования подобия не зависит от выбора базиса и имеет вид аЕ, где а — коэффициент подобия.

Важным частным случаем невырожденных преобразований являются преобразования ортогональные. Понятие ортогонального преобразования Имеет смысл в применении к эвклидову пространству и определяется как линейное преобразование, сохраняющее длины векторов. Ортогональное преобразование есть обобщение на «-мерное пространство преобразования вращения пространства при неподвижном начале 76

Глава XVI. Линейная алгебра

координат или вращения, соединенного с отражением относительно какой-либо плоскости, проходящей через начало.

Легко видеть, что при ортогональном преобразовании сохраняются не только длины векторов, но и скалярные произведения, и, следовательно, ортогональные преобразования переводят ортонормальный базис пространства в систему попарно-ортогональных единичных векторов, которая в свою очередь неминуемо является базисом.

Матрица, связанная с ортогональным преобразованием, относительно ортонормального базиса обладает следующими специфическими свойствами.

Во-первых, сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1, ибо такие суммы суть квадраты длин векторов, в которые переходят векторы выбранного базиса. Во-вторых, суммы произведений соответствующих элементов, взятых из двух различных столбцов, равны нулю, ибо такие суммы суть скалярные произведения векторов, в которые переходят векторы базиса.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed