Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В матричных обозначениях оба эти свойства записываются одной формулой
PP = E.
Здесь P — матрица ортої онального преобразования (относительно ортонормального базиса), P — транспонированная с ней матрица, т. е. такая, строки которой являются столбцами матрицы P с сохранением их порядка.
В самом деле, диагональные элементы матрицы PP по правилу умножения матриц равны сумме квадратов элементов соответствующего столбца матрицы Р, а недиагональные равны сумме произведений соответствующих элементов, взятых из различных столбцов матрицы Р.
Примером вырожденного преобразования может служить, например, ортогональное проектирование всех векторов эвклидова пространства на некоторое подпространство (см. § 2). Действительно, при этом преобразовании все пространство отображается на свою часть.
Преобразование координат. Рассмотрим теперь вопрос о преобразовании координат в «-мерном пространстве, т. е. вопрос о том, как изменяются координаты векторов при переходе от одного базиса к другому.
Пусть дан исходный базис е1, е2, . . ., е„ и пусть flt f2,. .., fn —
(C11, . . ., Cln \ .....—
С/ЦІ ¦ • • і cnn /
матрица, столбцы которой являются координатами векторов нового базиса /j, f2, ..., fn относительно исходного. Матрица С, очевидно, невырожденная в силу линейной независимости векторов /2, . . ., f„. Она называется матрицей преобразования координат. § 4. Линейные преобразования 77
Обозначим через X1, X2.....хп координаты некоторого вектора X
относительно базиса е , е2, ..., еп и через x'v х'2, ..., х'п — координаты того же вектора относительно базиса fv f, ..., fn. Тогда X=x\f^-\-xLf2 + ¦•• + xl,fn' и' следовательно, координаты вектора X относительно исходного базиса образуют столбец
In
Ic х' 4- с х' 4- ... 4- с„ х' I
-I 21 1 ' 22 2 I I 2м и I-
с ,х\ 4-е ,Ж04- ... +с х'
«1 1 1 «2 2 1 1 ни «
Итак, исходные координаты выражаются через преобразованные линейным однородным образом с матрицей С.
Формулы, выражающие зависимость между координатами относительно исходного и преобразованного базисов, формально совпадают с формулами, связывающими координаты соответствующих векторов при невырожденном линейном преобразовании пространства. Это обстоятельство дает возможность интерпретировать отвлеченно заданное линейное однородное преобразование переменных с невырожденной матрицей или как преобразование координат, или как линейное преобразование пространства. В каждом конкретном случае выбор одной из этих двух интерпретаций определяется содержанием рассматриваемой задачи.
Рассмотрим теперь вопрос о том, как изменяется матрица линейного преобразования пространства при преобразовании координат.
Пусть в базисе ev е2, ..., е„ данное линейное преобразование имеет матрицу А, так что столбец Y из координат преобразованного вектора связан со столбцом X исходного формулой
Y= АХ.
Пусть теперь сделано преобразование координат с матрицей С; X', Y' обозначают соответственно столбцы из координат исходного и преобразованного векторов относительно нового базиса. Тогда X = CX', Y = CY', откуда
Y' = C-1Y = C-1AX = C-1ACX'.
Итак, матрицей рассматриваемого преобразования относительно нового базиса является матрица C-1AC.
Матрицы А и В, связанные соотношением B = C-1AC, где С — некоторая неособенная матрица, называются подобными. Одному и тому же линейному преобразованию по отношению к различным базисам соответствует класс попарно подобных между собой матриц.
Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. Важнейший класс линейных преобразований образуют преобразования, осуществляемые следующим образом. 78 Глава XVI. Линейная алгебра
Пусть elt е2, . . ., еп — какие-либо линейно-независимые векторы пространства. Пусть при преобразовании они умножаются на некоторые числа X1, X2, ..., Х„. Если векторы е\, е2, . . еп принять за базис пространства, то рассматриваемое преобразование описывается диагональной матрицей
Преобразования этого класса имеют простой и наглядный геометрический смысл (конечно, для действительных пространств и при п = 2 или п = 3). Именно, если все числа Xi положительны, то описываемое преобразование заключается в растяжении (или сжатии) пространства по направлению векторов ех,е2,...,еп с коэффициентами X^X2, ...,Х„. Если некоторые из Ii отрицательны, то деформация пространства сопровождается изменением направлений некоторых из векторов elte2,...,en на противоположные. Наконец, если, например, X1 = O, то происходит проектирование пространства параллельно на подпространство, натянутое на е2,...,еп с последующей деформацией по этим направлениям.
Рассматриваемый класс преобразований важен тем, что он, несмотря на свою простоту, является весьма общим. Именно, устанавливается,, что каждое линейное преобразование, удовлетворяющее некоторым, неочень жестким ограничениям, принадлежит к рассматриваемому классу, т. е. для него можно найти такой базис, в котором оно описывается диагональной матрицей.
Ограничения, накладываемые на преобразование, становятся особенно свободными, если рассматривать линейные преобразования комплексного пространства. В дальнейшем это и будет предполагаться.
