Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Эти формулы можно еще преобразовать, заметив, что сумму ЬлА^-\- ... -\-bvAnj можно записать в виде определителя, именно:
(свободные члены находятся в /-м столбце).
Таким образом, результаты, изложенные выше для систем уравнений с двумя и тремя неизвестными, полностью обобщены на систему Tl уравнений и даже формулы для решения получаются совершенно такими же по форме.
Отметим одно следствие из доказанной теоремы:
Если относительно системы уравнений заведомо известно, что она совсем не имеет|решения или решение не единственно, то определитель матрицы из коэффициентов равен нулю.
Это следствие особенно часто применяется к однородным системам, т. е. таким, в которых свободные члены Ьл, b2, ...,Ь„ все равны нулю. Однородные системы всегда имеют само собой разумеющееся «тривиальное» решение X1 = X2= ... =х„ = 0.
Если же'однородная система имеет, кроме тривиального, еще нетривиальное решение, то ее определитель равен нулю.
„ _ hAlj + ... + KAnj
х. _ _ д
при всех /=1,2, ...,п. (6)
ап ... 6, ... а,„ J
Ay = ^A1J -f...-f KAnj
Я/-
ап1 ... Ьп ... апп I § 3. Системы линейных уравнений
67
Это утверждение открывает возможность использовать теорию определителей в других разделах математики и в ее приложениях. Рассмотрим, например, задачу из аналитической геометрии. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки (?,, г/,, Z1), (х2, у2, z2) и (х3, у3, z3), не лежащие на одной прямой.
Из элементарной геометрии известно, что искомая плоскость существует. Пусть ее уравнение имеет вид AxjrByjrCzjrD = 0. Тогда
Ax1 -f- Byx 4- Cz1 4- D = 0, ^s2 4- By2 4" Cz2 4-/) = 0, 4" By3 4- Cz3 4-/) = 0.
Пусть х, у, z — координаты любой точки, лежащей на плоскости. Тогда и
Ax-JrBy 4- Cz JrD = O.
Рассмотрим эти четыре уравнения как систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов А, В, С, D искомой плоскости. Эта система имеет нетривиальное решение, ибо искомая плоскость существует. Следовательно, определитель системы равен нулю, т. е.
X1 у, z1 1
. I
Х2 A % ' xS Уз z3 1 X у Z 1
= 0. (7)
Это и есть уравнение искомой плоскости. Действительно, оно есть уравнение 1-й степени относительно X, у, z, что следует из линейности определителя относительно элементов последней строки.
Используя то, что данные точки не лежат на одной прямой, нетрудно проверить, что не все его коэффициенты равны нулю. Следовательно, равенство (7) есть действительно уравнение плоскости. Плоскость эта проходит через данные точки, ибо координаты их, очевидно» удовлетворяют ее уравнению.
Матричная запись системы п уравнений с п неизвестными. Система п линейных уравнений с п неизвестными
aiA+ • • • jTa^n = K,
"I- • • • 4" ^nnxU-К
может быть записана в матричных обозначениях в виде одного равенства
AX = В.
Здесь А оіфзначает матрицу из коэффициентов, X — столбец, составленный из неизвестных, В— столбец из свободных членов.
5* 68
Глава XVI. Линейная алгебра
Решение системы (если определитель матрицы А отличен от нуля) подробно записывается так [см. формулу (6)]:
А
А.
К,
Zn=^b1 +
Ain
или в матричной форме
I AiI A^l АЩ_
/А Д ' • • 4
X =
An A21 Am
А Д ' ' ' ' А
A12 A22 All2
А А ' ' • А
А\п Ain Ann
А А • ' ' ' А
Матрица, стоящая первым множителем в правой части равенства, называется матрицей, обратной к матрице А, и обозначается через А~г. Применяя это обозначение, получим решение системы AX=B в следующем простом и естественном виде, напоминающем формулу для решения одного уравнения с одним неизвестным:
X = A-1B.
Нетрудно дать другое обоснование полученному результату в терминах алгебры матриц.
Для этого прежде всего следует отметить особую роль матрицы
1 0 0 ... О'
E=- 0 1 0---0
О 0 0 ... 1
называемой единичной матрицей.
Единичная матрица среди квадратных матриц играет такую же роль, какую играет число 1 среди всех чисел. Именно: при любой матрице А имеют место равенства AE=A и EA = A. Это легко проверяется на основании правила умножения матриц.
Определенная выше матрица А"1, обратная к матрице А, играет но отношению к ней роль, сходную с той, которую играет число, обратное к данному числу. Именно:
AA-1 = A-xA = E.
Справедливость этих равенств проверяется на основании правил умножения матриц и свойств 3 и 6 определителя. § 3. Системы линейных уравнений
69
Зная эти свойства единичной и обратной матриц, можно провести решение системы AX = B следующим образом.
Пусть AX = B. Тогда A^(AX) = A-1B. Но A^1(AX) = (A-1A)X = = EX=X, и, следовательно, X = A-1B.
Пусть теперь X = A-^B. Тогда AX = AA-1B = EB = B.
Итак, «уравнение» AX = B имеет единственное решение X = А~гВ, если только А—1 существует.
Мы установили существование обратной матрицы А—1 для матрицы А в предположении, что определитель матрицы А отличен от нуля. Это условие не только достаточно, но и необходимо для существования обратной матрицы. Действительно, пусть для матрицы А существует обратная А—1, т. е. такая, что AA-1 = E. Тогда по свойству определителя произведения двух матриц
