Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Формальпо теория комплексных пространств ничем существенно не отличается от теории действительных пространств.
Однако даже двумерное комплексное пространство не имеет наглядной геометрической интерпретации. Дело в том, что га-мерное комплексное пространство можно рассматривать и как действительное, ибо поскольку для его элементов определено действие умножения на любые комплексные числа, тем самым определено и действие умножения на действительное число. Но размерность комплексного га-мерного пространства, рассматриваемого как действительное, будет равна 2га, т. е. вдвое больше. В самом деле, если ev е2, . .., еп есть базис комплексного пространства, то за базис этого пространства, рассматриваемого как действительное, можно принять, например, векторы
?], i?jt • ••» е»> ІЄ„, гдє І = \J 1-
Следовательно, двумерное комплексное пространство может быть интерпретировано как действительное, но четырехмерное.
Далее, теория линейных пространств не претерпевает формально никаких изменений, если в качестве совокупности чисел, на которые § 2. Линейное -пространство
55
допускается умножение «векторов» пространства, брать какие-либо другие совокупности чисел, отличные от совокупности всех действительных и всех комплексных чисел, лишь бы результаты основных арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления — над числами этой совокупности снова к ней принадлежали. Совокупности чисел, удовлетворяющие этим требованиям, носят название числовых полей. {Более подробно это понятие рассматривается в главе XX.) Примером числового поля может служить, например, поле рациональных чисел.
В некоторых разделах алгебры, близких к теории чисел, с успехом применяется теория линейных пространств над произвольным полем.
и-мерное эвклидово пространство. В предыдущем изложении еще не были обобщены некоторые важные понятия обычного векторного пространства, в частности понятия длины вектора и угла между векторами. Известно, что в аналитической геометрии в вопросах, касающихся пересечения прямых и плоскостей, параллельности и многих других, эти понятия и не используются. Свойства пространства, описание которых не нуждается в понятиях длины вектора и угла, могут быть охарактеризованы как свойства, не нарушающиеся при любых аффинных преобразованиях [см. главу III (том 1), § И]. По этой причине линейные пространства, в которых не определены понятия длины вектора, называются аффинными пространствами.
Однако многие задачи математики требуют обобщения понятий длины вектора и угла на га-мерпые пространства. Эти обобщения производятся посредством аналогий с теорией векторов на плоскости и в пространстве.
Рассмотрим сначала действительное пространство строк. Длина вектора X = (ж,, х2, ..., хп) считается, по определению, равпой числу Х\ — \Ja\-\-х\-\-,..-Ar хК Это совершенно естественно, так как при л —2 и п = 3 имеппо по этой формуле вычисляется длина вектора через его координаты относительно декартовых осей координат.
Понятие угла между векторами вводится естественным способом из ¦следующих соображений. На плоскости и в пространстве угол между векторами X и Y есть угол при вершине А в треугольнике со сторонами AB = IJfI1 AC — I YI и BC = \X—Y\.
Для «-мерного пространства естественно принять это за определение угла между векторами, т. е. как бы считать, что пару векторов можно «извлечь» из га-мерного пространства и «положить» на плоскость с сохранением их длин и угла между ними. Однако в таком определении имеется нестрогость: существование треугольника ABC с длинами векторов |Jf|, I Y\ и IX—YI нуждается в доказательстве.
Пренебрегая этой неточностью, выведем формулу для вычисления угла. По известной формуле тригонометрии
SC2 = AB2 + AC2 — IAB • А С cos <р, ,56
Глава XVI. Линейная алгебра
откуда
_ |Л"|2+|Р12 — 1 X— Г|2
C0S?"- 2\X\.\Y\ -
т=_ *ї+... + *і + !ї+... + уі-(*і-ьіт-...-(*„-у„у _
2\Х[-\ YI
_ + • • • + *»У«
— \X\-\Y\
Если, как и для трехмерпого пространства, для произведения длин векторов на косинус угла между ннмп сохранить термин «скалярное произведение», то мы получим, что скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
X- Y — X1Ij14- ... + XJJn,
которая при п — 2 и п = 3 совнадает с известной формулой для скалярного пропзиедения обычных векторов.
Строго говоря, выражение х,?/, + ... +#„;/„ нужно принять за определение скалярного произведения (ибо в определении скалярного произведения при помощи угла была допущена нестрогость), а затем определить уі ол между векторами но формуле
С08? = -|ДП-Гг| • <3>
Так мы и сделаем.
Для законности такого определения угла необходимо доказать, что праная часть формулы (3) но абсолютной величине не превосходит 1, т. е. что (Х- I У\*.
В развернутой форме это неравенство имеет вид
(X1IJ1 + . . . + Х„упУ- < + . . . + XfJ (fi + ;. . + 7,1).
Ono носит название неравенства Коши—Буияковского п может быть доказано непосредственным, по довольно громоздким вычислением. Мы докажем его путем следующего косвенного рассуждения.
