Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Глава XVI. Линейная алгебра
Например, системы форм
3Xj j Xg Xg ) 3^2 —j— ^2 ^3'
2а;г -(- X2 -(- Зяд, и 2tl -(-12 -)- 3<;
'3>
'3'
'3'
•з>
обладают, конечно, одинаковыми свойствами и могут не считаться существенно различными.
Совокупность коэффициентов системы линейных форм естественно задавать в виде прямоугольной таблицы
Такие таблицы носят название- матриц. Числа a{j называются элементами матрицы. Потребность в рассмотрении матриц с необходимостью возникает из самого предмета линейной алгебры.
Важными частными случаями матриц являются матрицы, состоящие из одного столбца, называемые просто столбцами, матрицы, состоящие из одной строки, называемые строками, и, наконец, квадратные матрицы, т. е. такие, у которых число строк равно числу столбцов. Число строк (или столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. «Матрица» (а), состоящая из одного числа а, отождествляется с этим числом.
В свяіи с простейшими действиями над совокупностью линейных форм естественным образом определяются действия над матрицами.
Пусть даны две системы линейных форм
CinjJ ... а
У\ — auxi + • • • + a^x,
Ут- ат\Х\ • • • ~Ь атпХі
И
Z1 = ^11Z1 -(-...-(- Ъ і,,®,
"71 >
Zm-Ьт]Xj -(-...-)- bmnX„.
Сложим эти формы соответственно
У\ + zI = (aU + 6Il) xI + • • • + (flI" + ЬЬг) X,
Ут + Zm = (ат + Ья1) x1 -f ... -f (атп -f Ътп) х„. §т 1. Предмет линейной алгебры и ее аппарат
41
Естественно считать, что матрица получившейся системы форм «и +
Ьп ... аъ, -)- бди
4®ml + • ' • атп + ^mii
(aU"' aIn \ f Ъ п . . • бік
.... і и i ....
CEtnl . . . Clmn ) \ bml ... Ътп t
(аи ... а1п .... I на
Ят1 . . . &тп/
число с определяется как матрица коэффициентов в системе форм cyv су2, ..., сут, где yv у2, ..., ут — формы, коэффициенты которых
CE11 . . . CEiH
образуют матрицу
Из этого определения видно, что
ап ... а1в \ / Ca11 ... саіи
^ml ¦ • • атп J \Сат\ • ' • ^dmn .
Наконец, действие умножения матрицы на матрицу определяется следующим образом. Пусть
(1)
zi = аиУі + • • • + атУш
Ч = %2/i + • • • + актут и
Уі = ьихі + • • • +Ь iA>
Vm = K1X1-^ .. . -\-ЬтяХ„.
Подставив в (1) выражения уи у2, ...,ут через Xv х2, ..., х„, получим, что Z1, Z2, ..., Zk выражаются через Xv х2, ...,х„ тоже в виде линейных форм
Z1 = ^nX1 + • • • + CinXn,
zk ¦— cJciajI + • • • + CfcA- ,42
Глава XVI. Линейная алгебра
c11 .. . Cln \
Матрица коэффициентов | .... I называется произведением матриц
ск\ • • • Ckn J
^ll • • • Ьт \
.... I и обозначается через . ак1 ... акт J
V^ml • • • Ъ тп J
Ьп . . . 61я
. ак\ • • • акт J \ ^wii • • • ^mn /
Нетрудно подсчитать, как выражаются элементы произведения двух матриц через элементы их сомножителей. Элемент CiJ есть коэффициент при Xj в выражении Zf через X1, ...,Xn. Но Zi = CLilH1 + ... + aimym, а
V1= ...+btfXj+ Ут ~ ¦ ¦ ¦ + bmjXj + . . .
Следовательно,
zi = - • • + KAy + • • • + aimbmj) Xj + . ..,
откуда
Cij = a,-Ay + ... + aimbmj.
Итак, элемент г-й строки и /-го столбца произведения двух матриц равен сумме произведений элементов г-й строки первого сомножителя на соответствующие элементы /-го столбца второго сомножителя. Например:
2-3 + 1-1+3-2 2- 1 + 1.2 + 3-4\_/13 16\ 3 • 3+ 1 • 1 +1 • 2 з. 1 + 1 -2 + 1 -4/ \12 9) '
Хотя матрица является, так сказать, «составным» объектом, в состав которого входит много элементов, полезно и удобно обозначать ее одпой буквой, сохраняя при этом для действий сложения и умножения обычные обозначения. Мы будем пользоваться для обозначения матриц большими буквами латинского алфавита. Применение таких сокращенных обозначений вносит простоту и обозримость в теорию матриц, охватывая в кратких формулах, напоминающих формулы обычной алгебры, сложные соотношения, связывающие множество чисел — эле- §т 1. Предмет линейной алгебры и ее аппарат
43
ментов матриц, участвующих в этих формулах. Так, например, совокупность линейных форм
®11®1 "I- • • • "К «ія-^я»
ат\Х1 ¦ • • ®-тпхп
в матричных обозначениях выглядит как АХ, где А — матрица коэффициентов, X — «столбец», составленный из неременных ж,, ...,хп. Система линейных уравнений
aIl^i • • • атхп —- > ат\Х1 ~f~ • • • атпХя — Ьт
записывается как
AX = B,
где А — матрица коэффициентов, X — столбец из неизвестных, В — столбец из свободных членов.
Основные действия над матрицами — действия сложения и умножения— определены, конечно, не всегда. Действие сложения имеет смысл для матриц одинакового строения, т. е. имеющих одинаковое число строк и столбцов. В результате сложения получается матрица того же строения. Действие умножения имеет смысл, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В результате получается матрица, число строк которой равно числу строк первого со-мпожителя, а число столбцов равно числу столбцов второго сомножителя.
Действия над квадратными матрицами подчиняются большей части законов действий над числами, но некоторые законы оказываются нарушенными.
