Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать, что произвольная непрерывная функция, заданная па отрезке, измерима. Однако к числу измеримых функций принадлежат также и многие разрывные функции, например функцпя Дирихле, равная 1 для иррациональных точек отрезка [0, 1] и равная 0* для остальных точек этого отрезка.
Отметим без доказательства, что измеримые функции обладают следующими свойствами.
1. Если f(x) и ip (гг) — измеримые функции, определенные на одном
и том же множестве Е, то функции
/+?. /—?. /¦? и J-
также измеримы (последняя, если у^О).
Это свойство показывает, что алгебраические операции над измеримыми функциями снова приводят к измеримым функциям.
2. Если послёдовательность измеримых функций {/„ (.г)}, определенных па множестве Е, сходится почти всюду к функции f(x), то эта функция также измерима.
Такйм образом, операция построения предела почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций вновь приводит к измеримым функциям. § 6. Интеграл Лебега
Si
Эти свойства измеримых функций были установлены Лебегом. Глубокое исследование измеримых функций было произведено советскими математиками Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным. В частности, Н. Н. Лузин показал, что всякую измеримую функцию, заданную на отрезке, можно превратить в непрерывную, изменив ее значения на некотором множестве сколь угодно малой меры.
Этот классический результат Н. Н. Лузина и перечисленные выше свойства измеримых функций позволяют показать, что измеримые функции и представляют собой тот класс фупкцпй, о котором шла речь в начале этого пункта. Измеримые функции имеют также большое значение для теории интегрирования, именно, понятие интеграла может быть обобщено таким образом, чтобы всякая ограниченная измеримая функция оказалась интегрируемой. Подробнее об зтом рассказывается в следующем параграфе.
§ 6. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Переходим к центральному вопросу этой главы — определению и описанию свойств интеграла Лебб'га.
Чтобы понять принцип устройства этого интеграла, рассмотрим следующий пример. Пусть имеется большое количество монет различного достоинства и требуется сосчитать общую сумму депег, заключенную в этих монетах. Это можно сделать двумя способами. Можно откладывать монеты подряд и прибавлять стоимость каждой новой монеты к общей стоимости всех ранее отложенных. Одпако можно поступить и иначе: сложить монеты стопочками так, чтобы в каждой стопочке были монеты одного достоинства, затем сосчитать число монет в каждой стопочке, умножить это число на стоимость соответствующей мопеты, а затем сложить полученные числа. Первый способ счета денег соответствует процессу интегрирования Римана, а второй — процессу интегрирования Лебега.
Переходя от монет к функциям, мы можем сказать, что для вычисления интеграла Римана производится деление на мелкие части области задания функции (оси абсцисс; рис. 2а), а для вычисления интеграла Лебега производится деление области значений функции (оси ординат; рис. 26). Последний принцип применялся практически задолго до Лебега при вычислении интегралов от фупкцпй, имеющих колебательный характер, однако Лебег впервые развил его во всей общности и дал его строгое обоснование при помощи теории меры.
Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть E — какое-либо измеримое множество, расположенное на некотором отрезке [а, Ь]. Построим функцию <р(х), равную 1 для х 32
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
принадлежащих Е, и равную О для х, не принадлежащих Е. Иными словами, положим
{ 1 X С Е.
Рис. 2а.
Рис. 26.
Фунцкию <р (х) принято называть характеристической функцией множества Е. Рассмотрим интеграл
ь
I = J <р (a:) dx. § 6. Интеграл Лебега
Si
Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры D, ограниченной осью абсцисс, прямыми х = а, х = Ъ и кривой г/ = <р(х) [см. главу II (том 1)]. Так как в данном случае «высота» фигуры D отлична от нуля и равна 1 для точек х с E и только для этих точек, то (согласно формуле, площадь равна длине, умноженной на ширину) ее площадь должна быть численно равна длине (мере) множества Е. Итак, I должно быть равно мере множества E
1 = у.Е. (6)
Именно так и определяет Лебег интеграл от функции <р(я).
Читатель должен твердо уяснить себе, что равенство (6) является
ь
определением интеграла j <р(x)dx как интеграла Лебега. Может слу-
а
читься, что интеграл I не будет существовать в том смысле, как это понималось в главе II (том 1), т. е. как предел интегральных сумм. Даже если это последнее имеет место, интеграл I как интеграл Лебега существует и равен
В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле Ф(.г), равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка [0, 1] равна 1, то интеграл Лебега
і
J Ф (X) dx о
равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от этой функции не существует.
Одно вспомогательное предложение. Пусть теперь f(x) — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке [а, &]. Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции А и В точками у0 = А, у,, ..., уп = В на отрезки длины меньшей е, где є — произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке х? \а, />]
