Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично обстоит дело и с функциями от нескольких переменных.
Линейной функцией от нескольких переменных называется функция вида At1X1 а2х2 -)-...-1- апхп -\-Ь. Если Ь = 0, то линейная функция называется однородной. Линейная функция от нескольких переменных характеризуется следующими двумя свойствами:
1. Приращение линейной функции, вычисленное в предположении, что лишь одна из независимых переменных приобретает некоторое приращение при неизменных значениях для остальных, пропорционально приращению этой независимой переменной. ,38
Глава XVI. Линейная алгебра
2. Приращение линейной функции, вычисленное в предположении, что все независимые переменные получают некоторое приращение, равно алгебраической сумме приращений, получающихся от изменения каждой переменной в отдельности.
Линейная функция от нескольких переменных играет среди всех функций от этих переменных ту "Же роль, что и линейная функция от одной переменной среди всех функций одной переменной. Именно, любая «гладкая» функция (т. е. функция, имеющая непрерывные частные производные по всем переменным) при малом изменении независимых переменных близка к некоторой линейной функции. В самом деле, приращение такой функции w = f(xlt х2,____ х„) равно с точностью до
малых высших порядков полному дифференциалу dx.-\-...~ dx„,
OX^ OXn
который есть линейная однородная функция от приращений независимых перемеппых dxv ...,dx„. Отсюда следует, что сама функция w, равная сумме ее начального значения и приращения, выражается через независимые переменные при малом их изменении в виде линейной неоднородной функции с точностью до малых высших порядков.
Задачи, решение которых требует рассмотрения функций от нескольких переменных, возникают в связи с изучением зависимости одной величины от нескольких факторов. Задача называется линейной, если оказывается линейной исследуемая зависимость. На основании указанных выше свойств линейной функции, линейная задача может быть охарактеризована следующими свойствами.
1. Свойство пропорциональности. Результат действия каждого отдельного фактора пропорционален его величине.
2. Свойство независимости. Общий результат действия равен сумме результатов действий отдельных факторов.
То, что любая «гладкая» функция при малых изменениях переменных может быть в первом приближении заменена линейной, есть отражение общего принципа — любая задача об изменении некоторой величины в зависимости от действия нескольких факторов может рассматриваться в первом приближении, при малых воздействиях, как задача линейная, т. е; обладающая свойствами независимости и пропорциональности. Часто оказывается, что такое рассмотрение дает удовлетворительный для практики результат (классическая теория упругости, теория малых колебаний и т. д.).
Изучаемые физические величины часто сами характеризуются несколькими числами (сила — тремя проекциями на оси координат, напряженное состояние упругого тела в данной точке — шестью компонентами так называемого тензора напряжения и т. д.). Поэтому возникает необходимость одновременного рассмотрения нескольких функций от нескольких перемеппых, а в первом приближении — нескольких линейных функций. §т 1. Предмет линейной алгебры и ее аппарат
39
Линейная функция от одной переменной настолько проста по своим свойствам, что не требует никакого специального рассмотрения. Иначе обстоит дело с линейными функциями от нескольких переменных, где наличие многих переменных вносит некоторые специфические особенности. Дело еще более осложняется, если перейти от одной функции нескольких переменных Xv х2, ...,х„ к совокупности нескольких функций IJv IJ2, ..., ут от тех же переменных. Здесь в качестве «первого приближения» появляется совокупность линейных функций:
Ух = anxi 4- • • • 4- аь>хп + К
у2 = U21X1 -f ... + а2„хп + Ъ2,
Ут = ^mA + • • • 4- а„,А + К-
Совокупность линейных функций есть уже довольно сложный математический объект, и его исследование богато интересным и нетривиальным содержанием.
Учение о линейных функциях и их совокупностях и составляет в первую очередь предмет той ветви алгебры, которая называется линейной алгеброй.
Исторически первой задачей линейной алгебры является задача о решении системы линейных уравнений:
—1- • • • 4- -— bv а21Х1 4~ • • • 4- а2пХп = Ь2,
OmiX1 4" • • • 4" атпхп —' Ь„,.
Простейший случай этой задачи рассматривается в школьном курсе элементарной алгебры. Задача о приемах возможно более простого и наименее трудоемкого численного решения систем при больших п до сих пор привлекает пристальное внимание многих учепых, так как численное решение систем входит как важная составная часть во многие расчеты и исследования.
Линейные однородные функции ппаче называются линейными формами. Данная система линейных форм
У\ = aH-rI 4~ • ¦ • 4" ainXn>
Ут —¦ aHiiS1 4" • • • 4- атпХп
описывается системой коэффициентов, так как свойства такой системы форм зависят именно от численных значений коэффициентов, а название переменных не является существенным. ,40
