Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 11

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 145 >> Следующая


Приведем несколько примеров появления точечных мпожеств в классических разделах анализа. Пусть /(х) — непрерывная функция, заданная на отрезке [а, Ь]. Зафиксируем число а и рассмотрим множество тех точек х, для которых f(x) ^s а. Нетрудно показать, что это множество может быть произвольным замкнутым множеством, расположенным на отрезке [а, Ъ\. Точно так же множество точек х, для которых /(я)^>а, MOHteT быть каким угодно открытым множеством GC [я, Ь]. Если Z1 (ас), /2(аг), ..., /„(ж);... есть последовательность-непрерывных функций, заданных на отрезке [а, Ъ], то множество тех точек х, где эта последовательность сходится, не может быть произвольным, а принадлежит к вполне определенному типу. 26

Глава XV. Теория, функций действительного переменного

Математическая дисциплина, занимающаяся изучением строения точечпых множеств, называется дескриптивной теорией множеств. Весьма большие заслуги в деле развития дескриптивной теории множеств принадлежат советским математикам — Н. Н. Лузину и его ученикам П. С. Александрову, М. Я. Суслину, А. Н. Колмогорову, М. А. Лаврентьеву, П. С. Новикову, Л. В. Келдыш, А. А. Ляпунову и др.

Исследования Н. Н. Лузина и его учеников показали, что имеется глубокая связь между дескриптивной теорией множеств и математической логикой. Трудности, возникающие при рассмотрении ряда задач дескриптивной теории множеств (в частности, задач об определении мощности тех или иных множеств), являются трудностями логической природы. Напротив, методы математической логики позволяют более глубоко проникнуть в некоторые вопросы дескриптивной теории множеств.

§ 5. МЕРА МНОЖЕСТВ

Понятие меры множества является далеко идущим обобщением понятия длины отрезка. В простейшем случае (которым только мы и будем заниматься) задача состоит в том, чтобы дать определение длины не только для отрезков, но также и для более сложных точечных множеств, расположенных па прямой.

Примем за единицу измерения отрезок [О, IJ. Тогда длина произвольного отрезка \а, Ь], очевидно, равна Ъ — а. Точно так же если имеется два непересекающихся отрезка [а1( ^1] и [а2, 62], то под длиной множества Е, состоящего из зтих двух отрезков, естественно понимать число — ^1) + (^2 — а2). Однако далеко не так ясно, что следует понимать под длиной множества более сложной природы, расположенного на прямой; например, чему равна длина канторова множества Р, рассмотренного в § 4 этой главы? Отсюда вывод: понятие длины множества, расположенного на прямой, нуждается в строгом математическом определении.

Задача определения длины множеств, или, как говорят еще, задача измерения множеств, весьма важна, так как она имеет существенное значение для обобщения понятия интеграла. Понятие меры множества применяется и в других вопросах теории функций, а также в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и т. д.

Ниже излагается определение меры множеств, предложенное французским математиком А. Лебегом и лежащее в основе данного им определения интеграла.

Мера открытого и замкнутого множества. Начнем с определения меры произвольного открытого или замкнутого множества. Как уже отмечалось в § 4, всякое открытое множество на прямой является конечной или счетной суммой попарно не пересекающихся интервалов. § 5, Мера множеств



Мерой открытого множества называется сумма длин составляющих •его интервалов.

Таким образом, если

и интервалы (af, Ь() попарно не пересекаются, то мера G равна — а>)-Обозначая вообще меру множества E через \j.E, можем написать

^=2(6,-«,)-В частности, мера одного интервала равна его длине

a (a, ?>) = &— а.

Всякое замкнутое множество F, содержащееся в отрезке [а, Ъ] и такое, что концы отрезка [а, Ъ] принадлежат F, получается из отрезка la, Ъ] путем удаления из него некоторого открытого множества G. В соответствии с этим мерой замкнутого множества FC[a, b\, гдеа?/\ b?F, называется разность между длиной отрезка [а, 6) и мерой открытого множества G, дополнительного к F (относительно [а, 6]). Итак,

1^ = (6-в) —(дС. (2)

Нетрудно усмотреть, что, согласно этому определению, мера произвольного отрезка равна его длине

їх [a, b\ = b — а,

а мера множества, состоящего из конечного числа точек, равна пулю.

Общее определение меры. Для того чтобы дать определение меры множеств более общей природы, чем открытые и замкнутые, нам понадобится одно вспомогательное понятие. Пусть E — некоторое множество, лежащее на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим всевозможные покрытия множества Е, т. е. всевозможные открытые множества V(E), содержащие Е. Мера каждого из множеств V(E) уже определена. Совокупность мер всех множеств V (E) есть некоторое мпожество положительных чисел. Это множество чисел ограничено снизу (хотя бы числом 0) и потому имеет нижнюю грань, которую мы обозначим через tj.eE. Число [j.eE называется внешней мерой множества Е.

Пусть у.еЕ—• внешпяя мера множества Е, а ^eCE — внешняя мера его дополнения относительно отрезка [а, Ъ]. Если удовлетворяется соотношение

[Лв# + (д,СЯ = Ь — а, (3)

Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed