Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно видеть, что если а — фиксированная точка на прямой^ то множество E будет ограничено в том и только в том случае, если-расстояния от точки а до любой точки х ? E не превосходят некото« рого положительного числа.
Множества, ограниченные сверху и снизу. Пусть E — множество-точек на прямой. Если на прямой существует такая точка А, что любая точка х?Е расположена левее точки А, то говорят, что множество E ограничено сверху. Аналогично, если па прямой существует такая точка а, что любая точка х?Е расположена правев точки а, то множество E называется ограниченным снизу. Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.
Ясно, что данное цыше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество E точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то., что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки* образуют упорядоченное множество.
2*" 20
Глава XV. Теория, функций действительного переменного
Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено па некотором отрезке [а, 6].
Верхняя и нижняя грань множества. Пусть множество E ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки .4, правее которых нет ни одной точкп множества Е. Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек А, обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества Е. Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.
Если во множестве E есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества Е. Однако может случиться, что во множестве E нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами
? А А А А
1' 2" 3' 4 ' 5 ' ' ' '
ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань а не принадлежит множеству Е, но сколь угодно близко к а имеются точки множества Е. В приведенном выше примере а = 1.
Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой. Пусть E—точечное множество и х — какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества E вблизи точки х. Возможны следующие случаи:
1. Ни точка х, ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству Е.
2. Точка X не принадлежит Е, но сколь угодно близко к ней Имеются точки множества Е.
3. Точка X принадлежит Е, но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат Е.
4. Точка X принадлежит Е, и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества Е.
В случае 1 точка х называется внешней к множеству Е, в случае 3 — изолированной точкой множества Е, а в случаях 2 и 4—предельной точкой множества Е.
Таким образом, если x~(zE, то точка х может быть либо внешней к E, либо предельной для него, а если х ? Е, то она может быть либо изолированной точкой множества Е, либо его предельной точкой.
Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству E и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества Е. Иными словами, точка х является предельной точкой множества Е, если любой интервал S, содержащий точку х, содержит бесконечно много точек множества Е. Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств. § 4. Точечные множества
21.;
Если точка х и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству Е, то такая точка х называется внутренней точкой Е. Всякая точка х, которая не является для E ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества Е.
Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.
Пример 1. Пусть множество E1 состоит из точек с координатами
1 і. -I -L
' 2 ' 3 "'-'n"-'
Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка E1 (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой — внешние к E1.
Пример 2. Пусть множество E2 состоит из всех рациональных точек отрезка (0, 1]. Это множество не имеет изолированных точек,, каждая точка отрезка [0, 1] является предельной точкой E2, а все остальные точки на прямой — внешние к E2. Ясно, что среди предельных точек множества E2 имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.
Пример 3. Пусть множество E3 состоит из всех точек отрезка [0,1]. Как и в предыдущем примере, множество E3 не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка [0, 1] является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки E3 принадлежат этому множеству.
Пример 4. Пусть множество Ei состоит из всех точек с целыми координатами па прямой. Каждая точка Ei является его изолированной точкой; множество Ei не имеет предельпых точек.
Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала (0, 1) является внутренней точкой E3, а в примере 2 всякая точка отрезка [0, 1]—граничная точка E2.
